与えられた積分を計算します。積分は以下の通りです。 $\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は以下の通りです。

$\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx$

2. 解き方の手順

この積分を解くには、部分積分法と、三角関数の微分に関する知識が必要です。

まず、$x \sin x + 9 \cos x$ の微分を計算します。

$\frac{d}{dx}(x \sin x + 9 \cos x) = \sin x + x \cos x - 9 \sin x = x \cos x - 8 \sin x$

被積分関数を次のように分解することを考えます。

$\frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{A}{x \sin x + 9 \cos x} + \frac{B(x \cos x - 8 \sin x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$

このような分解は、部分積分法を適用する際に有効です。

ここでは、次のような関数 $f(x), g'(x)$ を選びます。

$f(x) = \frac{x}{\cos x}$ と $g'(x) = \frac{\cos x}{x \sin x + 9 \cos x}$ を考えます。

$g(x)$ を求めるために、$f'(x)$を計算します。

$f'(x) = \frac{1}{\cos x} + \frac{x \sin x}{\cos^2 x}$

ここで、被積分関数を以下の様に書き換える事を考えます。

$\frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{x}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{x \sin x + 9 \cos x}^2$

$\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx = \int \frac{x \cos x - 8 \sin x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} \frac{(x \sin x + 9 \cos x)}{ \cos x} + \frac{x \sin x + 9 \cos x}{\cos x}$

部分積分法を適用すると、

$\int f(x) g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx$

ここで、$f(x) = \frac{\sin x + x \cos x - 9 \sin x}{x \sin x + 9 \cos x}$ と置換すると、

$u = x \sin x + 9 \cos x$ とおくと、$du = (x \cos x - 8 \sin x) dx$ となるので、

$\int \frac{x \cos x - 8 \sin x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx = \int \frac{1}{u^2} du = -\frac{1}{u} = -\frac{1}{x \sin x + 9 \cos x}$

$\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx = \frac{-x\cos x+9\sin x}{x \sin x + 9 \cos x}$

よって、積分は次のように計算できます。

$\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx = - \frac{\frac{d}{dx}(x \sin x + 9 \cos x)}{ (x \sin x + 9 \cos x)^2} \cdot x + 9$

$\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx = \frac{\sin x x}{\cos x 8 } + C$

被積分関数を部分分数分解することによって解くことができます。

最終的な答えは、

$\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx = \frac{x}{\cos x + C }$

3. 最終的な答え

$\frac{x}{\cos x} + C$