以下の4つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{n \to \infty} n \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{(n+k)^2}$ (2) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{\pi}{n} \sin \frac{k\pi}{n}$ (3) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+kn}}$ (4) $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3 \left(3-\frac{2}{n}\right)\left(3-\frac{4}{n}\right)\dots\left(3-\frac{2(n-2)}{n}\right)\left(3-\frac{2(n-1)}{n}\right)}$

はい、承知いたしました。与えられた問題の極限値を計算します。

1. 問題の内容

以下の4つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{n \to \infty} n \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{(n+k)^2}$

(2) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{\pi}{n} \sin \frac{k\pi}{n}$

(3) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+kn}}$

(4) $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3 \left(3-\frac{2}{n}\right)\left(3-\frac{4}{n}\right)\dots\left(3-\frac{2(n-2)}{n}\right)\left(3-\frac{2(n-1)}{n}\right)}$

2. 解き方の手順

(1)

$\lim_{n \to \infty} n \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{(n+k)^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{(1+\frac{k}{n})^2}$

これは積分で表すことができます。

$\int_0^1 \frac{1}{(1+x)^2} dx = \left[-\frac{1}{1+x}\right]_0^1 = -\frac{1}{2} - (-1) = \frac{1}{2}$

(2)

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{\pi}{n} \sin \frac{k\pi}{n} = \pi \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \sin \frac{k\pi}{n}$

これも積分で表すことができます。

$\pi \int_0^1 \sin(\pi x) dx = \pi \left[-\frac{1}{\pi} \cos(\pi x)\right]_0^1 = -\cos(\pi) + \cos(0) = -(-1) + 1 = 2$

(3)

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+kn}} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n\sqrt{1+\frac{k}{n}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{1+\frac{k}{n}}}$

これも積分で表すことができます。

$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1+x}} dx = \left[2\sqrt{1+x}\right]_0^1 = 2\sqrt{2} - 2$

(4)

$a_n = 3 \left(3-\frac{2}{n}\right)\left(3-\frac{4}{n}\right)\dots\left(3-\frac{2(n-2)}{n}\right)\left(3-\frac{2(n-1)}{n}\right) = \prod_{k=1}^{n} \left(3 - \frac{2(k-1)}{n}\right)$

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \exp\left( \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln\left(3-\frac{2(k-1)}{n}\right)\right)$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln\left(3-\frac{2(k-1)}{n}\right) = \int_0^1 \ln(3-2x) dx$

$u = 3-2x$ とすると $du = -2dx$

$\int_0^1 \ln(3-2x) dx = -\frac{1}{2} \int_3^1 \ln u du = \frac{1}{2} \int_1^3 \ln u du = \frac{1}{2} [u \ln u - u]_1^3 = \frac{1}{2} (3\ln 3 - 3 - (1 \ln 1 - 1)) = \frac{1}{2} (3 \ln 3 - 2)$

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \exp\left( \frac{1}{2} (3 \ln 3 - 2)\right) = e^{\frac{1}{2} (3 \ln 3 - 2)} = e^{\frac{3}{2} \ln 3 - 1} = e^{\ln 3^{\frac{3}{2}} - 1} = \frac{3\sqrt{3}}{e}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) 2

(3) $2\sqrt{2} - 2$

(4) $\frac{3\sqrt{3}}{e}$