定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 \theta \, d\theta$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 \theta \, d\theta$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^3 \theta$ を $\cos \theta$ と $\cos^2 \theta$ に分解します。

$\cos^2 \theta$ を三角関数の恒等式 $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ で書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 \theta \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \cos^2 \theta \, d\theta$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta (1 - \sin^2 \theta) \, d\theta$

ここで、置換積分を行います。$u = \sin \theta$ とすると、$du = \cos \theta \, d\theta$ となります。

積分区間も変化します。

$\theta = 0$ のとき、$u = \sin 0 = 0$

$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき、$u = \sin \frac{\pi}{2} = 1$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} (1 - u^2) \, du$

これを積分します。

$\int_{0}^{1} (1 - u^2) \, du = \left[ u - \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{1}$

$= \left( 1 - \frac{1^3}{3} \right) - \left( 0 - \frac{0^3}{3} \right)$

$= 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$