線形写像 $f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ が $f(u) = Au$ で定義されています。ここで、$A$ は与えられた行列です。 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ $\mathbb{R}^4$ の部分空間 $V$ は、次のように定義されています。 $V = \left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4 \ \middle| \ 6x + 2y + 2z + 3w = 0 \right\}$ 以下の問いに答えてください。 (1) $V$ の基底を求め、それを $u_1, u_2, u_3$ とします。 (2) $f(V)$ は $\mathbb{R}^3$ の部分空間となります。$f(u_1), f(u_2), f(u_3)$ で生成される $f(V)$ の次元を求めてください。 (3) $\text{ker} \ f$ の基底を求めてください。

はい、承知しました。問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

線形写像 $f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ が $f(u) = Au$ で定義されています。ここで、$A$ は与えられた行列です。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\mathbb{R}^4$ の部分空間 $V$ は、次のように定義されています。

$V = \left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4 \ \middle| \ 6x + 2y + 2z + 3w = 0 \right\}$

以下の問いに答えてください。

(1) $V$ の基底を求め、それを $u_1, u_2, u_3$ とします。

(2) $f(V)$ は $\mathbb{R}^3$ の部分空間となります。$f(u_1), f(u_2), f(u_3)$ で生成される $f(V)$ の次元を求めてください。

(3) $\text{ker} \ f$ の基底を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) $V$ の基底を求める。

$6x + 2y + 2z + 3w = 0$ より、$x = -\frac{1}{3}y - \frac{1}{3}z - \frac{1}{2}w$ となります。したがって、$V$ のベクトルは次のように表せます。

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{3}y - \frac{1}{3}z - \frac{1}{2}w \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = y \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + w \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

$u_1 = \begin{pmatrix} -1/3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, u_2 = \begin{pmatrix} -1/3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, u_3 = \begin{pmatrix} -1/2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ とすれば、これらは一次独立であるため、$V$ の基底となります。

ただし、分数が含まれているのが気になる場合は、それぞれ定数倍して、

$u_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, u_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}, u_3 = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}$

としても良いです。

(2) $f(V)$ の次元を求める。

$f(u_1), f(u_2), f(u_3)$ を計算します。

$f(u_1) = A u_1, f(u_2) = A u_2, f(u_3) = A u_3$

$f(u_1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix}$

$f(u_2) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}$

$f(u_3) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ -6 \\ -3 \end{pmatrix}$

これらのベクトルが一次独立かどうかを調べます。$c_1 f(u_1) + c_2 f(u_2) + c_3 f(u_3) = 0$ となる $c_1, c_2, c_3$ を求めます。

$c_1 \begin{pmatrix} -2 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix} 9 \\ -6 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

これを解くと、$c_1 = -5, c_2 = -1/2, c_3 = 2$ は解の一つなので、これらのベクトルは一次従属です。

したがって、$f(V)$ の次元は 2 です。

(3) $\text{ker} \ f$ の基底を求める。

$\text{ker} \ f = \{ u \in \mathbb{R}^4 \ | \ Au = 0 \}$

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$Au = 0$ を解きます。つまり、

$x + z + 2w = 0$

$2x - y + z = 0$

$3x + y + w = 0$

この連立一次方程式を解きます。例えばガウスの消去法を用いると

$x = -1/7z - 2/7 w$

$y = 5/7z + 4/7 w$

よって ker f の元は、

$z \begin{pmatrix} -1/7 \\ 5/7 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + w \begin{pmatrix} -2/7 \\ 4/7 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

したがって、ker f の基底は、

$\begin{pmatrix} -1/7 \\ 5/7 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2/7 \\ 4/7 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

もしくは、定数倍して、

$\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $V$ の基底: $u_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, u_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}, u_3 = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}$

(2) $f(V)$ の次元: 2

(3) $\text{ker} \ f$ の基底: $\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}$