曲線 $C: y = |x^2 - x - 2| - x + 1$ と直線 $l: y = -x + a$ がある。 (1) $C$ のグラフの概形を描く。 (2) $C$ と $l$ が接するときの $a$ の値を求める。 (3) $C$ と $l$ の共有点の個数が $a$ の値によってどのように変わるかを調べる。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = |x^2 - x - 2| - x + 1$ と直線 $l: y = -x + a$ がある。

(1) $C$ のグラフの概形を描く。

(2) $C$ と $l$ が接するときの $a$ の値を求める。

(3) $C$ と $l$ の共有点の個数が $a$ の値によってどのように変わるかを調べる。

2. 解き方の手順

(1) $C$ のグラフの概形をかく。

まず、$y = x^2 - x - 2$ のグラフをかく。

$y = x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$ より、$x$ 軸との交点は $x = -1, 2$ である。

頂点は、$x = \frac{1}{2}$ のとき、$y = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 2 = -\frac{9}{4}$ である。

したがって、$y = x^2 - x - 2$ のグラフは、$x$ 軸との交点が $(-1, 0), (2, 0)$、頂点が $(\frac{1}{2}, -\frac{9}{4})$ の放物線である。

次に、$y = |x^2 - x - 2|$ のグラフをかく。

$x^2 - x - 2 \geq 0$ のとき、すなわち $x \leq -1$ または $x \geq 2$ のとき、$y = x^2 - x - 2$ である。

$x^2 - x - 2 < 0$ のとき、すなわち $-1 < x < 2$ のとき、$y = -(x^2 - x - 2) = -x^2 + x + 2$ である。

したがって、$y = |x^2 - x - 2|$ のグラフは、$x \leq -1$ または $x \geq 2$ のとき、$y = x^2 - x - 2$ であり、$-1 < x < 2$ のとき、$y = -x^2 + x + 2$ である。

$-x^2+x+2 = -(x^2-x-2)+4 = -(x-1/2)^2+9/4$

最後に、$y = |x^2 - x - 2| - x + 1$ のグラフをかく。

$y = |x^2 - x - 2|$ のグラフを $y$ 軸方向に $-x+1$ だけ平行移動したものが $y = |x^2 - x - 2| - x + 1$ のグラフである。

(2) $C$ と $l$ が接するときの $a$ の値を求める。

$y = |x^2 - x - 2| - x + 1$ と $y = -x + a$ が接するとき、$|x^2 - x - 2| - x + 1 = -x + a$ を満たす $x$ が存在する。

$|x^2 - x - 2| = a - 1$ である。

$x^2 - x - 2 \geq 0$ のとき、すなわち $x \leq -1$ または $x \geq 2$ のとき、$x^2 - x - 2 = a - 1$ である。

$x^2 - x - (a + 1) = 0$ である。

この方程式が重解を持つとき、$D = (-1)^2 - 4(1)(-a - 1) = 1 + 4a + 4 = 4a + 5 = 0$ より、$a = -\frac{5}{4}$ である。

このとき、$x = \frac{1}{2}$ となり、$x \leq -1$ または $x \geq 2$ を満たさないので、$a = -\frac{5}{4}$ は不適である。

$x^2 - x - (a + 1) = 0$ の判別式が正で、解の一つが$x=-1$または$x=2$となるときを考える。

$x=-1$のとき、$1+1-(a+1)=1-a=0$より、$a=1$。

$x=2$のとき、$4-2-(a+1)=1-a=0$より、$a=1$。

$x^2 - x - 2 < 0$ のとき、すなわち $-1 < x < 2$ のとき、$-(x^2 - x - 2) = a - 1$ である。

$-x^2 + x + 2 = a - 1$ である。

$x^2 - x - (3 - a) = 0$ である。

この方程式が重解を持つとき、$D = (-1)^2 - 4(1)(-(3 - a)) = 1 + 12 - 4a = 13 - 4a = 0$ より、$a = \frac{13}{4}$ である。

このとき、$x = \frac{1}{2}$ となり、$-1 < x < 2$ を満たすので、$a = \frac{13}{4}$ は適する。

$x=-1$のとき、$1+1-(3-a)=-1+a=0$より、$a=1$。

$x=2$のとき、$4-2-(3-a)=-1+a=0$より、$a=1$。

(3) $C$ と $l$ の共有点の個数が $a$ の値によってどのように変わるかを調べる。

$y = |x^2 - x - 2| - x + 1$ と $y = -x + a$ の共有点の個数は、$|x^2 - x - 2| = a - 1$ を満たす $x$ の個数に等しい。

$a < 1$ のとき、解なし。

$a = 1$ のとき、解は $x=-1$または$x=2$。共有点は$2$個。

$1 < a < \frac{13}{4}$ のとき、4個。

$a = \frac{13}{4}$ のとき、3個。

$a > \frac{13}{4}$ のとき、2個。

3. 最終的な答え

(1) グラフは省略します

(2) $a = 1, \frac{13}{4}$

(3) $a < 1$ のとき、0個

$a = 1$ のとき、2個

$1 < a < \frac{13}{4}$ のとき、4個

$a = \frac{13}{4}$ のとき、3個

$a > \frac{13}{4}$ のとき、2個