ある店で1個100円のりんごが1日に200個売れている。りんごの販売価格を1円安くするごとに、1日に売れるりんごの個数が4個ずつ増加する。1日のりんごの売上金額が最大となるのは、りんご1個の販売価格を何円にしたときか。

1. 問題の内容

ある店で1個100円のりんごが1日に200個売れている。りんごの販売価格を1円安くするごとに、1日に売れるりんごの個数が4個ずつ増加する。1日のりんごの売上金額が最大となるのは、りんご1個の販売価格を何円にしたときか。

2. 解き方の手順

りんご1個の販売価格を $x$ 円とすると、1日の売れるりんごの個数は $200 + 4(100 - x)$ 個となる。したがって、1日の売上金額 $S$ は

$$S = x(200 + 4(100 - x))$$

$$S = x(200 + 400 - 4x)$$

$$S = x(600 - 4x)$$

$$S = 600x - 4x^2$$

この式は下に凸の二次関数なので、売上金額が最大となる $x$ を求めるには、この関数を微分して0とおけばよい。

$$\frac{dS}{dx} = 600 - 8x$$

$$\frac{dS}{dx} = 0 \implies 600 - 8x = 0$$

$$8x = 600$$

$$x = \frac{600}{8} = \frac{300}{4} = \frac{150}{2} = 75$$

売上金額が最大になるのは、りんご1個の販売価格が75円のときである。

3. 最終的な答え

75