与えられた数式の値を計算します。数式は次のとおりです。 $\frac{2\log_3\sqrt{3} - \frac{1}{2}\log_3 6 + \log_3 \frac{\sqrt{6}}{3}}{\log_2 12^2 + \frac{2}{3}\log_2 \frac{2}{3} - \frac{4}{3}\log_2 3}$

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。数式は次のとおりです。

$\frac{2\log_3\sqrt{3} - \frac{1}{2}\log_3 6 + \log_3 \frac{\sqrt{6}}{3}}{\log_2 12^2 + \frac{2}{3}\log_2 \frac{2}{3} - \frac{4}{3}\log_2 3}$

2. 解き方の手順

まず、分子を計算します。

$\log_3 \sqrt{3} = \log_3 3^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$

$\log_3 6 = \log_3 (2\cdot 3) = \log_3 2 + \log_3 3 = \log_3 2 + 1$

$\log_3 \frac{\sqrt{6}}{3} = \log_3 \sqrt{6} - \log_3 3 = \log_3 (2\cdot 3)^{\frac{1}{2}} - 1 = \frac{1}{2}(\log_3 2 + \log_3 3) - 1 = \frac{1}{2}\log_3 2 + \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2}\log_3 2 - \frac{1}{2}$

分子 = $2(\frac{1}{2}) - \frac{1}{2}(\log_3 2 + 1) + \frac{1}{2}\log_3 2 - \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2}\log_3 2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\log_3 2 - \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$

次に、分母を計算します。

$\log_2 12^2 = 2 \log_2 12 = 2\log_2 (3 \cdot 2^2) = 2(\log_2 3 + 2\log_2 2) = 2(\log_2 3 + 2) = 2\log_2 3 + 4$

$\frac{2}{3}\log_2 \frac{2}{3} = \frac{2}{3}(\log_2 2 - \log_2 3) = \frac{2}{3}(1 - \log_2 3) = \frac{2}{3} - \frac{2}{3}\log_2 3$

$\frac{4}{3}\log_2 3$

分母 = $2\log_2 3 + 4 + \frac{2}{3} - \frac{2}{3}\log_2 3 - \frac{4}{3}\log_2 3 = 4 + \frac{2}{3} + 2\log_2 3 - \frac{6}{3}\log_2 3 = \frac{14}{3} + (2 - 2)\log_2 3 = \frac{14}{3}$

したがって、

$\frac{2\log_3\sqrt{3} - \frac{1}{2}\log_3 6 + \log_3 \frac{\sqrt{6}}{3}}{\log_2 12^2 + \frac{2}{3}\log_2 \frac{2}{3} - \frac{4}{3}\log_2 3} = \frac{0}{\frac{14}{3}} = 0$

3. 最終的な答え

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