与えられた不定積分を計算します。具体的には以下の4つの積分です。 (1) $\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3}+1} dx$ (2) $\int \frac{dx}{x\sqrt{x+1}}$ (3) $\int \log|x^2-1| dx$ (4) $\int \frac{e^x}{e^x - e^{-x}} dx$

1. 問題の内容

与えられた不定積分を計算します。具体的には以下の4つの積分です。

(1) $\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3}+1} dx$

(2) $\int \frac{dx}{x\sqrt{x+1}}$

(3) $\int \log|x^2-1| dx$

(4) $\int \frac{e^x}{e^x - e^{-x}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3}+1} dx$

$x = u^4$ と置換します。すると、$dx = 4u^3 du$ となります。

与えられた積分は次のようになります。

$\int \frac{\sqrt{u^4}}{\sqrt[4]{(u^4)^3}+1} 4u^3 du = \int \frac{u^2}{u^3+1} 4u^3 du = 4 \int \frac{u^5}{u^3+1} du$

ここで、$\frac{u^5}{u^3+1} = u^2 - \frac{u^2}{u^3+1}$ となります。

したがって、$4\int \frac{u^5}{u^3+1} du = 4\int (u^2 - \frac{u^2}{u^3+1}) du = 4 \int u^2 du - 4 \int \frac{u^2}{u^3+1} du = \frac{4}{3}u^3 - \frac{4}{3} \log|u^3+1| + C$

$u = \sqrt[4]{x}$を代入すると、$\frac{4}{3} (\sqrt[4]{x})^3 - \frac{4}{3} \log|(\sqrt[4]{x})^3+1| + C = \frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}} - \frac{4}{3} \log|x^{\frac{3}{4}}+1| + C$

(2) $\int \frac{dx}{x\sqrt{x+1}}$

$\sqrt{x+1} = t$ と置換すると、$x+1 = t^2$ となり、$x = t^2 - 1$、$dx = 2t dt$ となります。

与えられた積分は次のようになります。

$\int \frac{2t dt}{(t^2-1)t} = 2 \int \frac{dt}{t^2-1} = 2 \int \frac{1}{(t-1)(t+1)} dt = 2 \int \frac{1}{2} (\frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1}) dt = \int (\frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1}) dt$

$= \log|t-1| - \log|t+1| + C = \log|\frac{t-1}{t+1}| + C$

$t = \sqrt{x+1}$を代入すると、$\log|\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1}| + C$

(3) $\int \log|x^2-1| dx$

部分積分を用いて計算します。$\int \log|x^2-1| dx = \int 1 \cdot \log|x^2-1| dx = x \log|x^2-1| - \int x \frac{2x}{x^2-1} dx = x \log|x^2-1| - \int \frac{2x^2}{x^2-1} dx$

$\int \frac{2x^2}{x^2-1} dx = \int \frac{2(x^2-1)+2}{x^2-1} dx = \int (2 + \frac{2}{x^2-1}) dx = 2x + \int \frac{2}{(x-1)(x+1)} dx = 2x + \int (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}) dx = 2x + \log|x-1| - \log|x+1| + C$

したがって、$x \log|x^2-1| - (2x + \log|x-1| - \log|x+1|) + C = x \log|x^2-1| - 2x - \log|x-1| + \log|x+1| + C$

(4) $\int \frac{e^x}{e^x - e^{-x}} dx$

$t = e^x$ と置換すると、$dt = e^x dx$ となります。

与えられた積分は次のようになります。

$\int \frac{dt}{t - \frac{1}{t}} = \int \frac{dt}{\frac{t^2-1}{t}} = \int \frac{t}{t^2-1} dt$

$u = t^2-1$ と置換すると、$du = 2t dt$ となります。

$\int \frac{1}{2u} du = \frac{1}{2} \log|u| + C = \frac{1}{2} \log|t^2-1| + C = \frac{1}{2} \log|e^{2x}-1| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}} - \frac{4}{3} \log|x^{\frac{3}{4}}+1| + C$

(2) $\log|\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1}| + C$

(3) $x \log|x^2-1| - 2x - \log|x-1| + \log|x+1| + C$

(4) $\frac{1}{2} \log|e^{2x}-1| + C$