(1) サイクロイド $x = a(t - \sin t)$, $y = a(1 - \cos t)$ の $0 \le t \le 2\pi$ における全長を求める。 (2) アステロイド $x = a\cos^3 t$, $y = a\sin^3 t$ の $0 \le t \le 2\pi$ における全長を求める。

1. 問題の内容

(1) サイクロイド $x = a(t - \sin t)$, $y = a(1 - \cos t)$ の $0 \le t \le 2\pi$ における全長を求める。

(2) アステロイド $x = a\cos^3 t$, $y = a\sin^3 t$ の $0 \le t \le 2\pi$ における全長を求める。

2. 解き方の手順

(1) サイクロイドの場合、曲線の長さは以下の式で与えられます。

$L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$

まず、$\frac{dx}{dt}$と$\frac{dy}{dt}$を計算します。

$\frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t)$

$\frac{dy}{dt} = a\sin t$

これらを代入して、

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = a^2(1 - \cos t)^2 + a^2\sin^2 t = a^2(1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t) = a^2(2 - 2\cos t) = 2a^2(1 - \cos t)$

ここで、$1 - \cos t = 2\sin^2(\frac{t}{2})$であることを用いると、

$2a^2(1 - \cos t) = 4a^2\sin^2(\frac{t}{2})$

したがって、

$\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} = \sqrt{4a^2\sin^2(\frac{t}{2})} = 2a|\sin(\frac{t}{2})|$

$0 \le t \le 2\pi$のとき、$0 \le \frac{t}{2} \le \pi$なので、$\sin(\frac{t}{2}) \ge 0$。よって、$|\sin(\frac{t}{2})| = \sin(\frac{t}{2})$

したがって、

$L = \int_{0}^{2\pi} 2a\sin(\frac{t}{2}) dt = 2a [-2\cos(\frac{t}{2})]_{0}^{2\pi} = -4a[\cos(\pi) - \cos(0)] = -4a(-1 - 1) = 8a$

(2) アステロイドの場合も同様に、曲線の長さは以下の式で与えられます。

$L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$

$\frac{dx}{dt} = -3a\cos^2 t \sin t$

$\frac{dy}{dt} = 3a\sin^2 t \cos t$

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = 9a^2\cos^4 t \sin^2 t + 9a^2\sin^4 t \cos^2 t = 9a^2\cos^2 t \sin^2 t (\cos^2 t + \sin^2 t) = 9a^2\cos^2 t \sin^2 t$

したがって、

$\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} = \sqrt{9a^2\cos^2 t \sin^2 t} = 3a|\cos t \sin t| = 3a|\frac{1}{2}\sin(2t)| = \frac{3}{2}a|\sin(2t)|$

$0 \le t \le 2\pi$における全長を求めるには、対称性を利用して、第1象限の長さを求めて4倍すればよい。第1象限は$0 \le t \le \frac{\pi}{2}$なので、

$L = 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 3a\cos t \sin t dt = 12a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}\sin(2t) dt = 6a[-\frac{1}{2}\cos(2t)]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -3a[\cos(\pi) - \cos(0)] = -3a(-1 - 1) = 6a$

3. 最終的な答え

(1) サイクロイドの全長: $8a$

(2) アステロイドの全長: $6a$