与えられた不等式を解く問題です。具体的には、以下の不等式を解きます。 (1) $(x-2)^2 > 2x - 5$ (2) $2(x^2+3) \leq x(x-4)$ (3) $(2x+1)^2 + 24 > (x+5)^2$ (4) $\frac{(x-1)^2}{3} \geq \frac{(x-2)^2}{2} - 1$

1. 問題の内容

与えられた不等式を解く問題です。具体的には、以下の不等式を解きます。

(1) $(x-2)^2 > 2x - 5$

(2) $2(x^2+3) \leq x(x-4)$

(3) $(2x+1)^2 + 24 > (x+5)^2$

(4) $\frac{(x-1)^2}{3} \geq \frac{(x-2)^2}{2} - 1$

2. 解き方の手順

各不等式について、以下の手順で解きます。

(1) $(x-2)^2 > 2x - 5$

展開して整理します。

$x^2 - 4x + 4 > 2x - 5$

$x^2 - 6x + 9 > 0$

$(x-3)^2 > 0$

したがって、$x \neq 3$

(2) $2(x^2+3) \leq x(x-4)$

展開して整理します。

$2x^2 + 6 \leq x^2 - 4x$

$x^2 + 4x + 6 \leq 0$

判別式 $D = 4^2 - 4(1)(6) = 16 - 24 = -8 < 0$ なので、解なし。

(3) $(2x+1)^2 + 24 > (x+5)^2$

展開して整理します。

$4x^2 + 4x + 1 + 24 > x^2 + 10x + 25$

$3x^2 - 6x > 0$

$3x(x-2) > 0$

したがって、$x < 0$ または $x > 2$

(4) $\frac{(x-1)^2}{3} \geq \frac{(x-2)^2}{2} - 1$

両辺に6を掛けて整理します。

$2(x-1)^2 \geq 3(x-2)^2 - 6$

$2(x^2 - 2x + 1) \geq 3(x^2 - 4x + 4) - 6$

$2x^2 - 4x + 2 \geq 3x^2 - 12x + 12 - 6$

$0 \geq x^2 - 8x + 4$

$x^2 - 8x + 4 \leq 0$

解の公式より、$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 16}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3}$

したがって、$4 - 2\sqrt{3} \leq x \leq 4 + 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x \neq 3$

(2) 解なし

(3) $x < 0$ または $x > 2$

(4) $4 - 2\sqrt{3} \leq x \leq 4 + 2\sqrt{3}$