以下の方程式の解を求めます。 4-1) $(x - 3)^2 = -4$ 4-2) $x^2 + 3x + 9 = 0$ 4-3) $2x^2 - 2\sqrt{3}x + 5 = 0$ 4-4) $4x^3 + x^2 - 6x - 3 = 0$

1. 問題の内容

以下の方程式の解を求めます。

4-1) $(x - 3)^2 = -4$

4-2) $x^2 + 3x + 9 = 0$

4-3) $2x^2 - 2\sqrt{3}x + 5 = 0$

4-4) $4x^3 + x^2 - 6x - 3 = 0$

2. 解き方の手順

4-1) $(x - 3)^2 = -4$

両辺の平方根を取ると、 $x - 3 = \pm \sqrt{-4} = \pm 2i$ となります。

したがって、$x = 3 \pm 2i$ です。

4-2) $x^2 + 3x + 9 = 0$

解の公式を用いて解きます。解の公式は $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ です。

この場合、$a = 1, b = 3, c = 9$ なので、

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(9)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{-27}}{2} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{-3}}{2} = \frac{-3 \pm 3i\sqrt{3}}{2}$

したがって、$x = \frac{-3 \pm 3i\sqrt{3}}{2}$ です。

4-3) $2x^2 - 2\sqrt{3}x + 5 = 0$

解の公式を用いて解きます。この場合、$a = 2, b = -2\sqrt{3}, c = 5$ なので、

$x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 - 4(2)(5)}}{2(2)} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 - 40}}{4} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{-28}}{4} = \frac{2\sqrt{3} \pm 2i\sqrt{7}}{4} = \frac{\sqrt{3} \pm i\sqrt{7}}{2}$

したがって、$x = \frac{\sqrt{3} \pm i\sqrt{7}}{2}$ です。

4-4) $4x^3 + x^2 - 6x - 3 = 0$

有理根定理より、考えられる有理根は $\pm 1, \pm 3, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{3}{4}$ です。

$x = -\frac{1}{4}$ を代入すると、

$4(-\frac{3}{4})^3 + (-\frac{3}{4})^2 - 6(-\frac{3}{4}) - 3 = 4(-\frac{27}{64}) + \frac{9}{16} + \frac{18}{4} - 3= -\frac{27}{16} + \frac{9}{16} + \frac{72}{16} - \frac{48}{16} = 0$.

したがって、$x = -\frac{3}{2}$ を代入すると、

$4(-\frac{3}{2})^3 + (-\frac{3}{2})^2 - 6(-\frac{3}{2}) - 3 = 4(-\frac{27}{8}) + \frac{9}{4} + \frac{18}{2} - 3 = -\frac{27}{2} + \frac{9}{4} + 9 - 3 = -\frac{54}{4} + \frac{9}{4} + \frac{36}{4} - \frac{12}{4} = -\frac{21}{4} \ne 0$

$x = -\frac{1}{2}$　を代入すると、

$4(-\frac{1}{2})^3 + (-\frac{1}{2})^2 - 6(-\frac{1}{2}) - 3 = 4(-\frac{1}{8}) + \frac{1}{4} + \frac{6}{2} - 3 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + 3 - 3 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{4}= -\frac{1}{4}\ne 0$

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$を代入すると

$4(\frac{\sqrt{3}}{2})^3 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 6(\frac{\sqrt{3}}{2}) - 3 = 4(\frac{3\sqrt{3}}{8}) + \frac{3}{4} - 3\sqrt{3} - 3 = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{4} - 3\sqrt{3} - 3 = -\frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{9}{4}\ne 0$

$4x^3 + x^2 - 6x - 3 = (x^2-3)(4x+1)$なので、$x^2 - 3 = 0$または$4x + 1= 0$

したがって、$x = \pm \sqrt{3}, x= -\frac{1}{4}$

したがって、$x = \sqrt{3}, -\sqrt{3}, -\frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

4-1) $x = 3 \pm 2i$

4-2) $x = \frac{-3 \pm 3i\sqrt{3}}{2}$

4-3) $x = \frac{\sqrt{3} \pm i\sqrt{7}}{2}$

4-4) $x = \sqrt{3}, -\sqrt{3}, -\frac{1}{4}$