行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 5 & 3 & -9 \end{bmatrix}$ を $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ のようにブロック分割して、$A^2$を計算する。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 5 & 3 & -9 \end{bmatrix}$ を $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ のようにブロック分割して、$A^2$を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$A$ を次のようにブロック分割します。

$A = \begin{bmatrix} B & 0 \\ C & D \end{bmatrix}$

ここで、

$B = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$, $0 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix} 5 & 3 \end{bmatrix}$, $D = [-9]$

$A^2$ は次のように計算できます。

$A^2 = \begin{bmatrix} B & 0 \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B & 0 \\ C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B^2 & 0 \\ CB+DC & D^2 \end{bmatrix}$

まず、$B^2$ を計算します。

$B^2 = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+3 & 6-6 \\ 2-2 & 3+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix}$

次に、$CB+DC$ を計算します。

$CB = \begin{bmatrix} 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10+3 & 15-6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 9 \end{bmatrix}$

$DC = [-9] \begin{bmatrix} 5 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -45 & -27 \end{bmatrix}$

$CB + DC = \begin{bmatrix} 13 & 9 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -45 & -27 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13-45 & 9-27 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -32 & -18 \end{bmatrix}$

最後に、$D^2$ を計算します。

$D^2 = (-9)^2 = 81$

したがって、$A^2$ は次のようになります。

$A^2 = \begin{bmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ -32 & -18 & 81 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^2 = \begin{bmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ -32 & -18 & 81 \end{bmatrix}$