与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 6 \end{pmatrix}$ に対して、以下の計算を行います。 (1) $A + B - 3C$ (2) $AB$ (3) $BC$ の行列式

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 6 \end{pmatrix}$ に対して、以下の計算を行います。

(1) $A + B - 3C$

(2) $AB$

(3) $BC$ の行列式

2. 解き方の手順

(1) $A + B - 3C$ を計算します。

$3C = 3 \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ -6 & 18 \end{pmatrix}$

$A + B - 3C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ -6 & 18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+4-0 & 1+1-(-3) \\ -1-2-(-6) & 3+2-18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 3 & -13 \end{pmatrix}$

(2) $AB$ を計算します。

$AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(4) + 1(-2) & 2(1) + 1(2) \\ -1(4) + 3(-2) & -1(1) + 3(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 2 & 2 + 2 \\ -4 - 6 & -1 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ -10 & 5 \end{pmatrix}$

(3) $BC$ を計算し、その行列式を計算します。

$BC = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4(0) + 1(-2) & 4(-1) + 1(6) \\ -2(0) + 2(-2) & -2(-1) + 2(6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -4 & 14 \end{pmatrix}$

$\det(BC) = (-2)(14) - (2)(-4) = -28 + 8 = -20$

3. 最終的な答え

(1) $A + B - 3C = \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 3 & -13 \end{pmatrix}$

(2) $AB = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ -10 & 5 \end{pmatrix}$

(3) $\det(BC) = -20$