大、中、小の3つのサイコロを同時に投げるとき、3つの目の積が3の倍数になる場合の数と、3つの目の積が32の倍数になる場合の数を求めよ。

1. 問題の内容

大、中、小の3つのサイコロを同時に投げるとき、3つの目の積が3の倍数になる場合の数と、3つの目の積が32の倍数になる場合の数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 3つの目の積が3の倍数になる場合

3つの目の積が3の倍数になるのは、少なくとも1つのサイコロの目が3の倍数(3または6)であるときです。

まず、3つの目の積が3の倍数にならない場合を考えます。これは3つのサイコロの目がすべて3の倍数でないときです。3の倍数でない目は1, 2, 4, 5の4つなので、その場合の数は $4^3 = 64$ 通りです。

3つのサイコロの目の出方は全部で $6^3 = 216$ 通りなので、3つの目の積が3の倍数になるのは $216 - 64 = 152$ 通りです。

(2) 3つの目の積が32の倍数になる場合

3つのサイコロの目をそれぞれ $a, b, c$ とすると、$abc$ が32の倍数となる条件を考えます。

$32 = 2^5$ であるので、$abc$ は少なくとも5つの2の因子を持つ必要があります。

各サイコロの目の2の因子は次の通りです。

- 1：0個

- 2：1個

- 3：0個

- 4：2個

- 5：0個

- 6：1個

考えられる組み合わせは以下の通りです。

- (4, 4, 2), (4, 4, 6) の順列: $3! / 2! \times 2 = 3 \times 2 = 6$ 通り

- (4, 2, 4), (4, 6, 4) の順列: 上記と同様に 6通り

- (2, 4, 4), (6, 4, 4) の順列: 上記と同様に 6通り

- (4, 4, 4) はありえない (2+2+2 = 6)

- (4, 6, 2)の順列：$3! = 6$ 通り

- (2, 2, x) x=8はない

- (2, 6, x)

- 5つの2の因子が必要となる。

積が32となる組み合わせは

(4, 4, 2) の順列は 3通り

(4, 6, x) -> x=4/3 -> なし

(6, 2, x) -> x=16/6 -> なし

他は(2, 4, 4),(4, 2, 4) などの順列

3つの目が全て偶数の場合のみ考えれば良い

2*4*4 =32となるのは (2,4,4),(4,2,4), (4,4,2) -> 3通り

4*4*6=96

2*6*x -> x=16/6

4*6*x ->x=32/24

(4,4,2) の順列：3通り

(6,4,2) の順列：6通り

よって3+6 = 9通り

3. 最終的な答え

3つの目の積が3の倍数になるのは 152 通り。

3つの目の積が32の倍数になるのは 9 通り。