実数 $a$ を定数とする。$\theta$ の方程式 $2 - \sin\theta = a + \cos^2\theta$ (1) がある。$\sin\theta = t$ とおくとき、$0 \le \theta < 2\pi$ における方程式 (1) を満たす $\theta$ が存在するような $a$ の値の範囲を求める問題。 方程式 (1) を $t$ で表すと $t^2 + t + \boxed{ア} - a = 0$ (2) となる。

## 回答

1. **問題の内容**

実数 $a$ を定数とする。$\theta$ の方程式 $2 - \sin\theta = a + \cos^2\theta$ (1) がある。$\sin\theta = t$ とおくとき、$0 \le \theta < 2\pi$ における方程式 (1) を満たす $\theta$ が存在するような $a$ の値の範囲を求める問題。

方程式 (1) を $t$ で表すと $t^2 + t + \boxed{ア} - a = 0$ (2) となる。

2. **解き方の手順**

まず、方程式 (1) を $t$ で表すことを考える。

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - t^2$ より、

$2 - t = a + 1 - t^2$

$t^2 - t + 1 - a = 0$

したがって、$t^2 - t + 1 - a = 0$ であるから、$ア = 1$

次に、太郎さんの発言「$t$ の方程式 (2) が実数解をもつような $a$ の値の範囲は、$a \ge \boxed{ウ}/\boxed{エ}$ ですね。」について考える。

方程式 (2) は $t^2 - t + (1-a) = 0$ である。

この方程式が実数解をもつ条件は、判別式 $D \ge 0$ である。

$D = (-1)^2 - 4(1)(1-a) = 1 - 4 + 4a = 4a - 3 \ge 0$

$4a \ge 3$

$a \ge \frac{3}{4}$

したがって、$ウ = 3, エ = 4$

花子さんの発言「すると、この問題の解答は $a \ge \boxed{ウ}/\boxed{エ}$ ですね。」について、先生の「そうかな。例えば、$a - 7$ は $a \ge \boxed{ウ}/\boxed{エ}$ を満たすけれど、方程式 $2 + \sin\theta = 7 - \cos^2\theta$ を満たす $\theta$ は存在しないよ。」から、方程式 (2) の実数解が存在することだけでは不十分であることがわかる。

これは、先生の指摘「$\sin\theta = t$ と置き換えた新しい変数 $t$ の変域を押さえていない。 $a \ge \boxed{ウ}/\boxed{エ}$ かつ $\boxed{オ}$ を満たすとき、$0 \le \theta < 2\pi$ において方程式 (1) を満たす $\theta$ は存在する。」より、$t$ の範囲を考慮する必要があることを示唆している。

$\sin\theta$ の取りうる値の範囲は $-1 \le \sin\theta \le 1$ なので、$-1 \le t \le 1$

したがって、$オ = 2$

先生の例「$a-7$ は $a \ge \frac{3}{4}$ を満たすけれど、方程式 $2 + \sin\theta = 7 - \cos^2\theta$ を満たす $\theta$ は存在しないよ。」において、$\theta$ が存在しない理由は $\boxed{カ}$ である。

$\boxed{カ}$ については、最も適当なものを、次の 0～3 のうちから一つ選べ。

0. $a = \frac{ウ}{エ}$ のときだけ方程式 (1) を満たす $\theta$ が存在するから

1. $a \ge \frac{ウ}{エ}$ は方程式 (1) を満たす $\theta$ が存在するための必要条件であるが、十分条件でないから

2. $a \ge \frac{ウ}{エ}$ は $-1 \le t \le 1$ における方程式 (2) が実数解をもつような $a$ の値の範囲であるから

3. $a \ge \frac{ウ}{エ}$ は $0 \le t \le 1$ における方程式 (2) が実数解をもつような $a$ の値の範囲であるから

$2 + \sin\theta = 7 - \cos^2\theta \implies 2 + \sin\theta = 7 - (1 - \sin^2\theta)$

$\sin^2\theta - \sin\theta + 4 = 0$

このとき $\sin\theta = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-15}}{2}$.

したがって、実数解を持たないことが分かる。$カ = 2$

$-1 \le t \le 1$ における方程式 (2) が実数解をもつ条件は、$t^2 - t + 1 - a = 0$ の解が $-1 \le t \le 1$ の範囲に少なくとも一つ存在することである。

$f(t) = t^2 - t + 1 - a$ とおく。

軸は $t = \frac{1}{2}$ であり、下に凸な放物線である。

$f(-1) = 1 + 1 + 1 - a = 3 - a$

$f(1) = 1 - 1 + 1 - a = 1 - a$

$-1 \le t \le 1$ に解を持つ条件は、

$f(-1) \le 0$ または $f(1) \le 0$ である。

$3 - a \le 0$ または $1 - a \le 0$

$a \ge 3$ または $a \ge 1$

したがって、$a \ge 1$ であれば、少なくとも一つの解が存在する。

$f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 - a = \frac{3}{4} - a$

$-1 \le t \le 1$ に少なくとも1つの解を持つ条件は

$f(-1)f(1) \le 0$ または $f(\frac{1}{2}) \le 0$

$(3 - a)(1 - a) \le 0$ または $\frac{3}{4} - a \le 0$

$a \ge 3$ or $a \le 1$

$1 \le a \le 3$ のときもある。

$f(-1) = 3-a$, $f(1) = 1-a$

i) $f(-1) \le 0$ かつ $f(1) \ge 0$: $a \ge 3$ かつ $a \le 1$ なので不適

ii) $f(-1) \ge 0$ かつ $f(1) \le 0$: $a \le 3$ かつ $a \ge 1$ なので $1 \le a \le 3$

$1 \le a \le 3$

よって、$a$ の値の範囲は $1 \le a \le 3$ である。

3. **最終的な答え**

$ア = 1$

$ウ = 3$

$エ = 4$

$オ = 2$

$カ = 2$

$\frac{\boxed{キ}}{\boxed{ク}} \le a \le \boxed{ケ}$ なので $1 \le a \le 3$ である。

$キ = 1$

$ク = 1$

$ケ = 3$

したがって、求める $a$ の値の範囲は $1 \le a \le 3$ である。