極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{(2x+1)(3x-1)}{x^2+2x+3}$ を求めます。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{(2x+1)(3x-1)}{x^2+2x+3}$ を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、分子と分母をそれぞれ $x^2$ で割ります。

まず、分子を展開します。

$(2x+1)(3x-1) = 6x^2 - 2x + 3x - 1 = 6x^2 + x - 1$

次に、与えられた分数式を書き換えます。

$\frac{(2x+1)(3x-1)}{x^2+2x+3} = \frac{6x^2+x-1}{x^2+2x+3}$

次に、分子と分母を $x^2$ で割ります。

$\frac{6x^2+x-1}{x^2+2x+3} = \frac{6 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}}$

次に、極限を計算します。$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ および $\frac{1}{x^2} \to 0$ であることを利用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} = \frac{6 + 0 - 0}{1 + 0 + 0} = \frac{6}{1} = 6$

3. 最終的な答え

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