$0 \le \theta < 2\pi$ において、方程式 $2 + \sin\theta = a + \cos^2\theta$ を満たす $\theta$ が存在するための $a$ の値の範囲を求める問題です。ただし、$\sin\theta = t$ とおき、方程式を $t$ で表し、会話形式で問題を進めます。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ において、方程式 $2 + \sin\theta = a + \cos^2\theta$ を満たす $\theta$ が存在するための $a$ の値の範囲を求める問題です。ただし、$\sin\theta = t$ とおき、方程式を $t$ で表し、会話形式で問題を進めます。

2. 解き方の手順

まず、$\sin\theta = t$ を用いて方程式 $2 + \sin\theta = a + \cos^2\theta$ を $t$ で表します。

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - t^2$ なので、

$2 + t = a + 1 - t^2$

$t^2 + t + 1 - a = 0$

となります。よって、アには1、イには1が入ります。

太郎さんの発言にある $t$ の方程式 $t^2 + t + 1 - a = 0$ が実数解を持つような $a$ の範囲は、判別式 $D \ge 0$ より、

$D = 1^2 - 4(1)(1-a) = 1 - 4 + 4a = 4a - 3 \ge 0$

$4a \ge 3$

$a \ge \frac{3}{4}$

よって、ウには3、エには4が入ります。

ただし、$t = \sin\theta$ であることから、$-1 \le t \le 1$ である必要があります。

オの解答群より、②の $-1 \le t \le 1$ が正解です。

$a = 7$ のとき、方程式は $t^2 + t + 1 - 7 = 0$ すなわち $t^2 + t - 6 = 0$ となり、$t = -3, 2$ となります。しかし、$-1 \le t \le 1$ でなければならないので、$t = -3, 2$ は解として不適切です。

これは、$-1 \le t \le 1$ という条件を考慮していないために起こります。よって、カには②が入ります。

次に、$-1 \le t \le 1$ の範囲で $t^2 + t + 1 - a = 0$ が解を持つような $a$ の範囲を求めます。

$t^2 + t + 1 = a$ と変形し、$f(t) = t^2 + t + 1$ とおくと、$f(t) = (t + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$ となります。

$-1 \le t \le 1$ における $f(t)$ の最小値は $t = -\frac{1}{2}$ のときで $\frac{3}{4}$、最大値は $t = 1$ のときで $1 + 1 + 1 = 3$ となります。

よって、$\frac{3}{4} \le a \le 3$ となります。

したがって、キには3、クには4、ケには3が入ります。

3. 最終的な答え

ア：1

イ：1

ウ：3

エ：4

オ：②

カ：②

キ：3

ク：4

ケ：3

$\frac{3}{4} \le a \le 3$