(1) 関数 $y = -x^2 + 4ax + 4$ ($0 \le x \le 4$) について、次の問いに答えよ。 (ア) 最大値を求めよ。 (イ) 最小値を求めよ。 (2) 関数 $y = x^2 + 2ax - 3$ ($0 \le x \le 2$) について、最大値および最小値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = -x^2 + 4ax + 4$ ($0 \le x \le 4$) について、次の問いに答えよ。

(ア) 最大値を求めよ。

(イ) 最小値を求めよ。

(2) 関数 $y = x^2 + 2ax - 3$ ($0 \le x \le 2$) について、最大値および最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = -x^2 + 4ax + 4$ を平方完成する。

$y = -(x^2 - 4ax) + 4$

$y = -(x^2 - 4ax + 4a^2) + 4 + 4a^2$

$y = -(x - 2a)^2 + 4a^2 + 4$

(ア)

頂点の $x$ 座標は $2a$ である。

(i) $2a < 0$ すなわち $a < 0$ のとき

$x = 0$ で最大値をとる。

最大値は $y = -0^2 + 4a(0) + 4 = 4$

(ii) $0 \le 2a \le 4$ すなわち $0 \le a \le 2$ のとき

$x = 2a$ で最大値をとる。

最大値は $y = 4a^2 + 4$

(iii) $2a > 4$ すなわち $a > 2$ のとき

$x = 4$ で最大値をとる。

最大値は $y = -4^2 + 4a(4) + 4 = -16 + 16a + 4 = 16a - 12$

(イ)

(i) $2a \le 2$ すなわち $a \le 1$ のとき

$x = 4$ で最小値をとる。

最小値は $y = -4^2 + 4a(4) + 4 = -16 + 16a + 4 = 16a - 12$

(ii) $2a > 2$ すなわち $a > 1$ のとき

$x = 0$ で最小値をとる。

最小値は $y = -0^2 + 4a(0) + 4 = 4$

(2)

$y = x^2 + 2ax - 3$ を平方完成する。

$y = (x + a)^2 - a^2 - 3$

軸は $x = -a$

(i) $-a < 0$ すなわち $a > 0$ のとき

$x = 0$ で最小値をとる。

最小値は $y = 0^2 + 2a(0) - 3 = -3$

$x = 2$ で最大値をとる。

最大値は $y = 2^2 + 2a(2) - 3 = 4 + 4a - 3 = 4a + 1$

(ii) $0 \le -a \le 2$ すなわち $-2 \le a \le 0$ のとき

$x = -a$ で最小値をとる。

最小値は $y = (-a)^2 + 2a(-a) - 3 = a^2 - 2a^2 - 3 = -a^2 - 3$

$a$ の範囲で場合分けする。

(a) $-2 \le a < -1$ のとき、$x = 2$ で最大値をとる。

最大値は $y = 2^2 + 2a(2) - 3 = 4 + 4a - 3 = 4a + 1$

(b) $-1 \le a \le 0$ のとき、$x = 0$ で最大値をとる。

最大値は $y = 0^2 + 2a(0) - 3 = -3$

(iii) $-a > 2$ すなわち $a < -2$ のとき

$x = 2$ で最小値をとる。

最小値は $y = 2^2 + 2a(2) - 3 = 4 + 4a - 3 = 4a + 1$

$x = 0$ で最大値をとる。

最大値は $y = 0^2 + 2a(0) - 3 = -3$

まとめると、

(i) $a > 0$ のとき、最大値は $4a + 1$, 最小値は $-3$

(ii) $-2 \le a \le 0$ のとき、

(a) $-2 \le a < -1$ のとき、最大値は $4a + 1$, 最小値は $-a^2 - 3$

(b) $-1 \le a \le 0$ のとき、最大値は $-3$, 最小値は $-a^2 - 3$

(iii) $a < -2$ のとき、最大値は $-3$, 最小値は $4a + 1$

(1) (ア)

$a < 0$ のとき、最大値 $4$

$0 \le a \le 2$ のとき、最大値 $4a^2 + 4$

$a > 2$ のとき、最大値 $16a - 12$

(イ)

$a \le 1$ のとき、最小値 $16a - 12$

$a > 1$ のとき、最小値 $4$

(2)

$a > 0$ のとき、最大値 $4a + 1$, 最小値 $-3$

$-2 \le a < -1$ のとき、最大値 $4a + 1$, 最小値 $-a^2 - 3$

$-1 \le a \le 0$ のとき、最大値 $-3$, 最小値 $-a^2 - 3$

$a < -2$ のとき、最大値 $-3$, 最小値 $4a + 1$

3. 最終的な答え

(1) (ア)

$a < 0$ のとき、最大値 $4$

$0 \le a \le 2$ のとき、最大値 $4a^2 + 4$

$a > 2$ のとき、最大値 $16a - 12$

(イ)

$a \le 1$ のとき、最小値 $16a - 12$

$a > 1$ のとき、最小値 $4$

(2)

$a > 0$ のとき、最大値 $4a + 1$, 最小値 $-3$

$-2 \le a < -1$ のとき、最大値 $4a + 1$, 最小値 $-a^2 - 3$

$-1 \le a \le 0$ のとき、最大値 $-3$, 最小値 $-a^2 - 3$

$a < -2$ のとき、最大値 $-3$, 最小値 $4a + 1$