与えられた行列の行列式が0となるような $x$ の値をすべて求める問題です。行列は次の通りです。 $ \begin{pmatrix} 0 & x & 2 & 3 \\ x & 0 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 0 & x \\ 3 & 2 & x & 0 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列の行列式が0となるような $x$ の値をすべて求める問題です。行列は次の通りです。

$\begin{pmatrix} 0 & x & 2 & 3 \\ x & 0 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 0 & x \\ 3 & 2 & x & 0 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列の行列式を計算します。行列式は、以下の式で計算できます。

$|A| = \begin{vmatrix} 0 & x & 2 & 3 \\ x & 0 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 0 & x \\ 3 & 2 & x & 0 \end{vmatrix}$

行列式を計算するために、いくつかの行または列に関する余因子展開を使うことができます。例えば、1行目で余因子展開すると、

$|A| = 0 \cdot C_{11} + (-1)^{1+2} x \cdot C_{12} + (-1)^{1+3} 2 \cdot C_{13} + (-1)^{1+4} 3 \cdot C_{14}$

$= -x \cdot C_{12} + 2 \cdot C_{13} - 3 \cdot C_{14}$

ここで、$C_{ij}$ は$(i,j)$要素の余因子です。

$C_{12} = \begin{vmatrix} x & 3 & 2 \\ 2 & 0 & x \\ 3 & x & 0 \end{vmatrix} = x(0-x^2) - 3(0-3x) + 2(2x-0) = -x^3 + 9x + 4x = -x^3 + 13x$

$C_{13} = \begin{vmatrix} x & 0 & 2 \\ 2 & 3 & x \\ 3 & 2 & 0 \end{vmatrix} = x(0-2x) - 0(0-3x) + 2(4-9) = -2x^2 - 10$

$C_{14} = \begin{vmatrix} x & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & x \end{vmatrix} = x(3x-0) - 0(2x-0) + 3(4-9) = 3x^2 - 15$

したがって、行列式は

$|A| = -x(-x^3 + 13x) + 2(-2x^2 - 10) - 3(3x^2 - 15) = x^4 - 13x^2 - 4x^2 - 20 - 9x^2 + 45 = x^4 - 26x^2 + 25$

$|A| = 0$ となる $x$ を求めます。$y = x^2$ とおくと、

$y^2 - 26y + 25 = 0$

$(y - 1)(y - 25) = 0$

$y = 1, 25$

したがって、$x^2 = 1$ または $x^2 = 25$ となります。

$x = \pm 1, \pm 5$.

3. 最終的な答え

$x = -5, -1, 1, 5$