ブラウン管の寿命の標準偏差は100時間であることがわかっています。平均寿命の99%信頼区間が±20時間以内になるようにするためには、標本の大きさをどれくらいにすればよいでしょうか。

はい、承知いたしました。問題文と解答を以下に示します。

1. 問題の内容

ブラウン管の寿命の標準偏差は100時間であることがわかっています。平均寿命の99%信頼区間が±20時間以内になるようにするためには、標本の大きさをどれくらいにすればよいでしょうか。

2. 解き方の手順

母標準偏差 $\sigma$ が既知の場合の母平均の信頼区間は、標本平均 $\bar{X}$ を用いて以下のように表されます。

$\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

ここで、$z_{\alpha/2}$ は標準正規分布の $\alpha/2$ 上側点、$n$ は標本サイズです。

信頼区間の幅は、$2 \times z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ で表されます。

問題文より、99%信頼区間が±20時間以内になるようにしたいので、以下の式が成り立ちます。

$z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 20$

99%信頼区間の場合、$\alpha = 1 - 0.99 = 0.01$ となり、$\alpha/2 = 0.005$ です。

$z_{0.005} \approx 2.576$ (標準正規分布表から) となります。

$\sigma = 100$ (問題文より)

したがって、

$2.576 \times \frac{100}{\sqrt{n}} = 20$

$\sqrt{n} = \frac{2.576 \times 100}{20} = 12.88$

$n = (12.88)^2 = 165.8944$

標本サイズは整数でなければならないので、切り上げて $n = 166$ とします。

3. 最終的な答え

標本の大きさは166以上である必要があります。