半径3cm、中心角60°のおうぎ形OABが、直線$l$上を滑ることなく転がります。半径OAが直線$l$に重なっている状態から、半径OBが初めて直線$l$に重なる状態になるまで転がるとき、おうぎ形の中心Oが描く線の長さを求めます。

1. 問題の内容

半径3cm、中心角60°のおうぎ形OABが、直線$l$上を滑ることなく転がります。半径OAが直線$l$に重なっている状態から、半径OBが初めて直線$l$に重なる状態になるまで転がるとき、おうぎ形の中心Oが描く線の長さを求めます。

2. 解き方の手順

おうぎ形が転がる際、中心Oの軌跡は以下のようになります。

* OAが直線$l$に重なっている状態から、Aが回転の中心となり、Oは半径3cmで90度回転します。

* 次に、AB間を直線的に移動します。ABの長さは、おうぎ形の弧の長さに等しいです。

* 最後に、Bが回転の中心となり、Oは半径3cmで90度回転します。

したがって、中心Oが描く線の長さは、2つの扇形の弧の長さと、線分ABの長さを足し合わせたものになります。

まず、扇形の弧の長さを計算します。

扇形の中心角は90度なので、円周の$\frac{90}{360} = \frac{1}{4}$になります。半径3cmの円の円周は$2 \pi r = 2 \pi \times 3 = 6\pi$ cmです。

したがって、扇形の弧の長さは、$6\pi \times \frac{1}{4} = \frac{3}{2}\pi$ cmです。

2つの扇形があるので、弧の長さの合計は、$2 \times \frac{3}{2}\pi = 3\pi$ cmです。

次に、線分ABの長さを計算します。これは、おうぎ形の弧の長さに等しいです。

おうぎ形の中心角は60度なので、円周の$\frac{60}{360} = \frac{1}{6}$になります。半径3cmの円の円周は$2 \pi r = 2 \pi \times 3 = 6\pi$ cmです。

したがって、おうぎ形の弧の長さ（ABの長さ）は、$6\pi \times \frac{1}{6} = \pi$ cmです。

最後に、中心Oが描く線の長さを計算します。

$3\pi + \pi = 4\pi$ cmとなります。

3. 最終的な答え

$4\pi$ cm