（1）の4x4行列式を第2行に関して展開して計算し、（2）の4x4行列式を第3列に関して展開して計算します。

1. 問題の内容

（1）の4x4行列式を第2行に関して展開して計算し、（2）の4x4行列式を第3列に関して展開して計算します。

2. 解き方の手順

(1) 行列式を第2行に関して展開する。

行列式は以下のように与えられます。

$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

第2行に関して展開すると、

$(-1)^{2+1}(-2)\begin{vmatrix} -1 & 3 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{2+2}(0)\begin{vmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{2+3}(0)\begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{2+4}(3)\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$

$= 2\begin{vmatrix} -1 & 3 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} + 0 + 0 + 3\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$

3x3行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} -1 & 3 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = -1(-2-0) - 3(3-2) + 0 = 2 - 3 = -1$

$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 2(0-(-4)) - (-1)(0-(-2)) + 3(2-3) = 8 + 2 - 3 = 7$

したがって、

$2(-1) + 3(7) = -2 + 21 = 19$

(2) 行列式を第3列に関して展開する。

行列式は以下のように与えられます。

$\begin{vmatrix} 3 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 2 \end{vmatrix}$

第3列に関して展開すると、

$(-1)^{1+3}(0)\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix} + (-1)^{2+3}(4)\begin{vmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix} + (-1)^{3+3}(1)\begin{vmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix} + (-1)^{4+3}(0)\begin{vmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

$= 0 - 4\begin{vmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix} + 0$

3x3行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 3(2-0) - 2(4-0) + 2(6-0) = 6 - 8 + 12 = 10$

$\begin{vmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 3(0-3) - 2(2-0) + 2(3-0) = -9 - 4 + 6 = -7$

したがって、

$-4(10) + (-7) = -40 - 7 = -47$

3. 最終的な答え

(1) 19

(2) -47