(i) 点 $(1, 0, -1)$ を通り、平面 $2x + 3y - z = 0$ に垂直な直線の方程式を求める。 (ii) 直線 $x+1 = y = 1-z$ を含み、ベクトル $(0, 1, 1)$ と平行な平面の方程式を求める。

1. 問題の内容

(i) 点 $(1, 0, -1)$ を通り、平面 $2x + 3y - z = 0$ に垂直な直線の方程式を求める。

(ii) 直線 $x+1 = y = 1-z$ を含み、ベクトル $(0, 1, 1)$ と平行な平面の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(i)

平面 $2x + 3y - z = 0$ の法線ベクトルは $\vec{n} = (2, 3, -1)$ である。

求める直線は、点 $(1, 0, -1)$ を通り、方向ベクトルが $\vec{n} = (2, 3, -1)$ である直線である。

したがって、直線の方程式は、

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\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 0}{3} = \frac{z - (-1)}{-1}

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整理すると、

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\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{-1}

$$$$

(ii)

直線 $x+1 = y = 1-z$ をパラメータ表示する。$t = x+1 = y = 1-z$ とおくと、$x = t-1, y = t, z = 1-t$ となる。

したがって、直線上の点は $(t-1, t, 1-t)$ で表せる。この直線上の2つの点を求める。

$t=0$ のとき、点 $A = (-1, 0, 1)$

$t=1$ のとき、点 $B = (0, 1, 0)$

ベクトル $\vec{AB} = (0 - (-1), 1 - 0, 0 - 1) = (1, 1, -1)$

ベクトル $\vec{v} = (0, 1, 1)$

求める平面の法線ベクトル $\vec{n}$ は $\vec{AB}$ と $\vec{v}$ に垂直である。

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\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{v} = (1, 1, -1) \times (0, 1, 1) = (1(1) - (-1)(1), (-1)(0) - 1(1), 1(1) - 1(0)) = (2, -1, 1)

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したがって、求める平面の方程式は $2x - y + z = d$ の形である。

点 $A = (-1, 0, 1)$ を通るので、

$2(-1) - 0 + 1 = d$

$-2 + 1 = d$

$d = -1$

したがって、求める平面の方程式は $2x - y + z = -1$

3. 最終的な答え

(i) $\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{-1}$

(ii) $2x - y + z = -1$