$x$軸に接し、2点$(0, 2)$、$(2, 2)$を通る円の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

$x$軸に接し、2点$(0, 2)$、$(2, 2)$を通る円の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

円の方程式を$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$とします。

$x$軸に接するので、$r = |b|$ が成り立ちます。したがって、円の方程式は

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = b^2$

と表せます。

この円が点$(0, 2)$を通るので、

$(0-a)^2 + (2-b)^2 = b^2$

$a^2 + 4 - 4b + b^2 = b^2$

$a^2 + 4 - 4b = 0$

$4b = a^2 + 4$

$b = \frac{a^2 + 4}{4}$

また、この円が点$(2, 2)$を通るので、

$(2-a)^2 + (2-b)^2 = b^2$

$4 - 4a + a^2 + 4 - 4b + b^2 = b^2$

$a^2 - 4a - 4b + 8 = 0$

$b = \frac{a^2 + 4}{4}$ を代入すると、

$a^2 - 4a - 4 (\frac{a^2 + 4}{4}) + 8 = 0$

$a^2 - 4a - (a^2 + 4) + 8 = 0$

$a^2 - 4a - a^2 - 4 + 8 = 0$

$-4a + 4 = 0$

$4a = 4$

$a = 1$

$a = 1$ を $b = \frac{a^2 + 4}{4}$ に代入すると、

$b = \frac{1^2 + 4}{4} = \frac{5}{4}$

したがって、円の方程式は

$(x - 1)^2 + (y - \frac{5}{4})^2 = (\frac{5}{4})^2$

$(x-1)^2 + (y-\frac{5}{4})^2 = \frac{25}{16}$

3. 最終的な答え

$(x-1)^2 + (y-\frac{5}{4})^2 = \frac{25}{16}$