与えられた定積分 $\int_0^{\sqrt{3}/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ を計算します。

画像に写っている4つの積分のうち、2番目の積分 $\int_0^{\sqrt{3}/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_0^{\sqrt{3}/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin(x) + C$ であることを利用します。ここで、$C$は積分定数です。

したがって、定積分は次のようになります。

$\int_0^{\sqrt{3}/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin(x) \Big|_0^{\sqrt{3}/2}$

$\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$ であり、$\arcsin(0) = 0$ なので、

$\int_0^{\sqrt{3}/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{\pi}{3} - 0 = \frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{3}$