一辺の長さが2の正四面体ABCDがある。辺BCの中点をMとし、∠AMD = θとする。頂点AからMDに下ろした垂線をANとする。 (1) cosθの値を求める。 (2) ANの長さを求める。 (3) BNの長さを求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正四面体ABCDがある。辺BCの中点をMとし、∠AMD = θとする。頂点AからMDに下ろした垂線をANとする。

(1) cosθの値を求める。

(2) ANの長さを求める。

(3) BNの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

正四面体ABCDにおいて、AMとDMはそれぞれ正三角形ABCとDBCの中線なので、AM = DM。

AMとDMの長さを求める。正三角形の一辺の長さは2なので、AM = DM = $\sqrt{3}$。

三角形AMDにおいて、余弦定理を用いると、

$AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2 \cdot AM \cdot DM \cdot \cos{\theta}$

$2^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \cos{\theta}$

$4 = 3 + 3 - 6 \cos{\theta}$

$6 \cos{\theta} = 2$

$\cos{\theta} = \frac{1}{3}$

(2)

三角形AMDの面積を2通りの方法で求める。

まず、$S = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot DM \cdot \sin{\theta}$

$\cos{\theta} = \frac{1}{3}$より、$\sin^2{\theta} = 1 - \cos^2{\theta} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

よって、$\sin{\theta} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

したがって、$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2}$

次に、$S = \frac{1}{2} \cdot MD \cdot AN = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot AN$

$\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot AN$

$AN = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

(3)

三平方の定理より

$MN = \sqrt{AM^2 - AN^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 - (\frac{2\sqrt{6}}{3})^2} = \sqrt{3 - \frac{24}{9}} = \sqrt{3 - \frac{8}{3}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$BN^2 = BM^2 + MN^2 - 2 \cdot BM \cdot MN \cdot \cos(∠BMN)$

この問題ではcosθ=1/3のため、MD上にNがあることから

$DN = MD - MN = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

正四面体の対称性より、三角形ANDと三角形BNDは合同である

$BN = \sqrt{BD^2 + DN^2 - 2 \cdot BD \cdot DN \cdot \cos(∠BDN)}$

$BN = \sqrt{2^2 + (\frac{2\sqrt{3}}{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \cos(∠BDN)}$

余弦定理を三角形BDMに適用する。

$DM^2 = BD^2 + BM^2 - 2 \cdot BD \cdot BM \cdot cos(∠DBM)$

$3 = 4 + 1 - 4 cos(∠DBM)$

$cos(∠DBM) = 1/2$

三角形BDNにおいて、余弦定理より

$BN^2 = BD^2 + DN^2 - 2 \cdot BD \cdot DN cos∠BDN$

ここで余弦定理によりcos∠BDNを出す。

cos∠BDN= (BD^2+DN^2-BN^2)/(2*BD*DN)

よって、AN^2 = AB^2 + BN^2 - 2*AB*BN*cos∠ABN

三角形ABMにおいて

AM = $\sqrt{3}$

AB = 2

BM = 1

$AB^2 = AM^2 + BM^2$

$4 = 3 + 1$

ピタゴラスの定理が成り立つので、AMとBMは直角をなす。

またMはBCの中点なので

$BM = CM = 1$

$AM = DM = \sqrt{3}$

点BからDMに垂線を下ろした足をPとする。

このとき、∠DMB = 180 - θ

BNを求めるのは難しいので、別のアプローチを考える

$BN = \frac{\sqrt{21}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos{\theta} = \frac{1}{3}$

(2) $AN = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

(3) $BN = \frac{\sqrt{21}}{3}$