与えられた積分を計算し、空欄を埋める問題です。具体的には、以下の4つの積分を計算します。 (1) $\int \frac{3x^2-1}{x^3-x} dx$ (2) $\int (4x-3)e^x dx$ (3) $\int \log x^6 dx$ (4) $\int x^4 e^{x^5} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算し、空欄を埋める問題です。具体的には、以下の4つの積分を計算します。

(1) $\int \frac{3x^2-1}{x^3-x} dx$

(2) $\int (4x-3)e^x dx$

(3) $\int \log x^6 dx$

(4) $\int x^4 e^{x^5} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{3x^2-1}{x^3-x} dx$

分母を$u = x^3 - x$と置くと、$du = (3x^2 - 1)dx$となるため、

$$\int \frac{3x^2-1}{x^3-x} dx = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log |x^3 - x| + C$$

したがって、1には選択肢の④が入ります。

(2) $\int (4x-3)e^x dx$

部分積分を行います。$u = 4x-3$, $dv = e^x dx$とすると、$du = 4dx$, $v = e^x$なので、

$$\int (4x-3)e^x dx = (4x-3)e^x - \int 4e^x dx = (4x-3)e^x - 4e^x + C = (4x - 7)e^x + C$$

したがって、2には4、3には7が入ります。

(3) $\int \log x^6 dx = \int 6\log x dx$

部分積分を行います。$u = \log x$, $dv = dx$とすると、$du = \frac{1}{x}dx$, $v = x$なので、

$$\int 6\log x dx = 6 \left(x\log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx\right) = 6 \left(x\log x - \int dx\right) = 6(x\log x - x) + C = 6(x\log x - x) + C$$

したがって、4には選択肢の③が入ります。

(4) $\int x^4 e^{x^5} dx$

$u = x^5$と置くと、$du = 5x^4 dx$なので、$x^4 dx = \frac{1}{5} du$となるため、

$$\int x^4 e^{x^5} dx = \int e^u \cdot \frac{1}{5} du = \frac{1}{5} \int e^u du = \frac{1}{5} e^u + C = \frac{1}{5} e^{x^5} + C$$

したがって、5には1が入ります。

3. 最終的な答え

(1) ④

(2) 2: 4, 3: 7

(3) ③

(4) 5: 1