以下の関数の不定積分を求めます。 (1) $(x^4 + x^2 - 2x + 3)^2(2x^3 + x - 1)$ (2) $x^2 e^{-x}$ (3) $\arcsin x$ (4) $\sin^3 x$ (5) $\sqrt{4 - x^2}$ (6) $x\sqrt{4 - x^2}$ (7) $\frac{1+x}{1-x^2}$ (8) $\frac{1+x}{1+x^2}$

1. 問題の内容

以下の関数の不定積分を求めます。

(1) $(x^4 + x^2 - 2x + 3)^2(2x^3 + x - 1)$

(2) $x^2 e^{-x}$

(3) $\arcsin x$

(4) $\sin^3 x$

(5) $\sqrt{4 - x^2}$

(6) $x\sqrt{4 - x^2}$

(7) $\frac{1+x}{1-x^2}$

(8) $\frac{1+x}{1+x^2}$

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = x^4 + x^2 - 2x + 3$ とおくと、$f'(x) = 4x^3 + 2x - 2 = 2(2x^3 + x - 1)$。

したがって、被積分関数は $\frac{1}{2} f(x)^2 f'(x)$ の形であるから、

$\int (x^4 + x^2 - 2x + 3)^2 (2x^3 + x - 1) dx = \int \frac{1}{2} f(x)^2 f'(x) dx = \frac{1}{2} \frac{f(x)^3}{3} + C = \frac{1}{6} (x^4 + x^2 - 2x + 3)^3 + C$

(2)

部分積分を用いる。$\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} + \int 2x e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} + (-2xe^{-x} + \int 2e^{-x} dx) = -x^2 e^{-x} - 2xe^{-x} - 2e^{-x} + C = -(x^2 + 2x + 2)e^{-x} + C$

(3)

部分積分を用いる。$\int \arcsin x dx = x \arcsin x - \int x \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = x \arcsin x + \int \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} dx = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$

(4)

$\sin^3 x = \sin x (1 - \cos^2 x) = \sin x - \sin x \cos^2 x$

$\int \sin^3 x dx = \int (\sin x - \sin x \cos^2 x) dx = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C$

(5)

$x = 2 \sin \theta$ と置換する。$dx = 2 \cos \theta d\theta$.

$\int \sqrt{4 - x^2} dx = \int \sqrt{4 - 4 \sin^2 \theta} 2 \cos \theta d\theta = \int 2 \cos \theta \cdot 2 \cos \theta d\theta = 4 \int \cos^2 \theta d\theta = 4 \int \frac{1 + \cos 2\theta}{2} d\theta = 2 \int (1 + \cos 2\theta) d\theta = 2(\theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta) + C = 2\theta + \sin 2\theta + C = 2\theta + 2 \sin \theta \cos \theta + C = 2 \arcsin \frac{x}{2} + 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{\sqrt{4-x^2}}{2} + C = 2 \arcsin \frac{x}{2} + \frac{x \sqrt{4-x^2}}{2} + C$

(6)

$u = 4 - x^2$ と置換する。$du = -2x dx$.

$\int x \sqrt{4-x^2} dx = \int \sqrt{u} (-\frac{1}{2}) du = -\frac{1}{2} \int u^{1/2} du = -\frac{1}{2} \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = -\frac{1}{3} (4-x^2)^{3/2} + C$

(7)

$\frac{1+x}{1-x^2} = \frac{1+x}{(1-x)(1+x)} = \frac{1}{1-x}$

$\int \frac{1+x}{1-x^2} dx = \int \frac{1}{1-x} dx = - \ln |1-x| + C$

(8)

$\int \frac{1+x}{1+x^2} dx = \int \frac{1}{1+x^2} dx + \int \frac{x}{1+x^2} dx = \arctan x + \frac{1}{2} \int \frac{2x}{1+x^2} dx = \arctan x + \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{6} (x^4 + x^2 - 2x + 3)^3 + C$

(2) $-(x^2 + 2x + 2)e^{-x} + C$

(3) $x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$

(4) $-\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C$

(5) $2 \arcsin \frac{x}{2} + \frac{x \sqrt{4-x^2}}{2} + C$

(6) $-\frac{1}{3} (4-x^2)^{3/2} + C$

(7) $-\ln |1-x| + C$

(8) $\arctan x + \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$