20個のボールをP, Q, R, Sの4つのかごに分けました。 PにはQの2倍のボールが、RにはSの3倍のボールが入っています。 空のかごはないとき、Pに入っているボールの数を求める問題です。

1. 問題の内容

20個のボールをP, Q, R, Sの4つのかごに分けました。

PにはQの2倍のボールが、RにはSの3倍のボールが入っています。

空のかごはないとき、Pに入っているボールの数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、P, Q, R, Sに入っているボールの数をそれぞれ $p, q, r, s$ とします。

問題文より、以下の関係式が得られます。

* $p = 2q$

* $r = 3s$

* $p + q + r + s = 20$

上記の関係式から、$q$ と $r$ を $s$ で表します。

$p = 2q$ より $q = \frac{p}{2}$

$r = 3s$ より、そのままです。

次に、$p + q + r + s = 20$ に、$q = \frac{p}{2}$, $r = 3s$ を代入します。

$p + \frac{p}{2} + 3s + s = 20$

$\frac{3}{2}p + 4s = 20$

$3p + 8s = 40$

$p$ と $s$ はボールの個数なので整数であり、$p>0$ と $s>0$ となる整数解を探します。（空のかごがないため）

$3p = 40 - 8s = 8(5-s)$

$3p$ が8の倍数なので、$p$ が8の倍数である必要があります。

$p = 8k$ （$k$は整数）とおくと、$3(8k) + 8s = 40$

$24k + 8s = 40$

$3k + s = 5$

$s = 5 - 3k$

$s > 0$ である必要があるため、$5 - 3k > 0$ を満たす $k$ を探します。

$3k < 5$

$k < \frac{5}{3} \approx 1.66$

$k$は整数であるため、$k = 1$ が考えられます。

$k = 1$ のとき、$p = 8 \times 1 = 8$

$s = 5 - 3 \times 1 = 2$

$q = \frac{p}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$r = 3s = 3 \times 2 = 6$

$p + q + r + s = 8 + 4 + 6 + 2 = 20$ となり、条件を満たしています。

3. 最終的な答え

8 個