問題は、与えられた関数 $f(x)$ が $x=1$ で連続かどうかを調べることです。関数は2つ与えられています。 (1) $f(x) = x|x|$ (2) $f(x) = x[x]$ (ここで $[x]$ は $x$ 以下の最大の整数を表します。)

1. 問題の内容

問題は、与えられた関数 $f(x)$ が $x=1$ で連続かどうかを調べることです。関数は2つ与えられています。

(1) $f(x) = x|x|$

(2) $f(x) = x[x]$ (ここで $[x]$ は $x$ 以下の最大の整数を表します。)

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x|x|$ の場合：

関数が $x=1$ で連続であるためには、以下の3つの条件を満たす必要があります。

1. $f(1)$ が存在する。

2. $\lim_{x \to 1} f(x)$ が存在する。

3. $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$。

まず、$f(1)$ を計算します。

$f(1) = 1 \cdot |1| = 1 \cdot 1 = 1$

次に、$\lim_{x \to 1} f(x)$ を計算します。絶対値関数は連続なので、極限は単純に値を代入することで求まります。

$\lim_{x \to 1} x|x| = 1 \cdot |1| = 1$

したがって、$f(1) = 1$ であり、$\lim_{x \to 1} f(x) = 1$ なので、$\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$ が成り立ち、$f(x) = x|x|$ は $x=1$ で連続です。

(2) $f(x) = x[x]$ の場合：

同様に、関数が $x=1$ で連続であるためには、上記の3つの条件を満たす必要があります。

まず、$f(1)$ を計算します。

$f(1) = 1 \cdot [1] = 1 \cdot 1 = 1$

次に、$\lim_{x \to 1} f(x)$ を計算します。今回は、右側極限と左側極限を別々に考える必要があります。

右側極限：$\lim_{x \to 1^+} x[x]$。 $x$ が $1$ より少し大きい場合、$[x] = 1$ です。したがって、

$\lim_{x \to 1^+} x[x] = \lim_{x \to 1^+} x \cdot 1 = 1$

左側極限：$\lim_{x \to 1^-} x[x]$。 $x$ が $1$ より少し小さい場合、$[x] = 0$ です。したがって、

$\lim_{x \to 1^-} x[x] = \lim_{x \to 1^-} x \cdot 0 = 0$

右側極限と左側極限が異なるので、$\lim_{x \to 1} f(x)$ は存在しません。

したがって、$f(x) = x[x]$ は $x=1$ で連続ではありません。

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = x|x|$ は $x=1$ で連続である。

(2) $f(x) = x[x]$ は $x=1$ で連続ではない。