関数 $f(x)$ が与えられています。ここで、$f(x)$は、 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{1+x^n}$ と定義されています。 $x > 0$ の範囲で、$f(x)$ の連続性を調べる必要があります。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられています。ここで、$f(x)$は、

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{1+x^n}$

と定義されています。 $x > 0$ の範囲で、$f(x)$ の連続性を調べる必要があります。

2. 解き方の手順

$f(x)$ の極限を計算するために、$x$ の値の範囲に応じて場合分けをします。

* $0 < x < 1$ の場合：

$\lim_{n \to \infty} x^n = 0$ なので、

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{1+x^n} = \frac{0}{1+0} = 0$

* $x = 1$ の場合：

$x^n = 1$ なので、

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1^{n+1}}{1+1^n} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

* $x > 1$ の場合：

分子と分母を $x^n$ で割ると、

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{1+x^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{x}{\frac{1}{x^n}+1} = \frac{x}{0+1} = x$

したがって、$f(x)$ は次のように定義されます。

$f(x) = \begin{cases} 0 & (0 < x < 1) \\ \frac{1}{2} & (x=1) \\ x & (x > 1) \end{cases}$

$f(x)$ の連続性を調べます。

* $0 < x < 1$ の範囲では、$f(x) = 0$ なので連続です。

* $x > 1$ の範囲では、$f(x) = x$ なので連続です。

* $x=1$ における連続性を調べます。

* $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} 0 = 0$

* $f(1) = \frac{1}{2}$

* $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} x = 1$

$\lim_{x \to 1^-} f(x) \ne f(1)$ かつ $f(1) \ne \lim_{x \to 1^+} f(x)$ であるため、$x=1$ で不連続です。

3. 最終的な答え

$f(x)$ は、$0 < x < 1$ および $x > 1$ で連続であり、$x=1$ で不連続です。