関数 $f(x)$ を $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{1 + x^n}$ (ただし、$x>0$) と定義する。$f(x)$ が連続にならないような $x$ の値をすべて求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ を $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{1 + x^n}$ (ただし、$x>0$) と定義する。$f(x)$ が連続にならないような $x$ の値をすべて求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を求める。

場合分けをする。

(1) $0 < x < 1$ のとき

$\lim_{n \to \infty} x^n = 0$ であるから、

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{1 + x^n} = \frac{0}{1 + 0} = 0$.

(2) $x = 1$ のとき

$f(1) = \lim_{n \to \infty} \frac{1^{n+1}}{1 + 1^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.

(3) $x > 1$ のとき

$\lim_{n \to \infty} x^n = \infty$ であるから、分子と分母を $x^n$ で割ると、

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{1 + x^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{x}{\frac{1}{x^n} + 1} = \frac{x}{0+1} = x$.

したがって、

$f(x) = \begin{cases} 0 & (0 < x < 1) \\ \frac{1}{2} & (x = 1) \\ x & (x > 1) \end{cases}$

次に、$f(x)$ の連続性を調べる。

$x=1$ において、$f(x)$ が連続かどうかを調べる。

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} 0 = 0$.

$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} x = 1$.

$f(1) = \frac{1}{2}$.

$\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq f(1)$ かつ $\lim_{x \to 1^+} f(x) \neq f(1)$ であるから、$x=1$ で $f(x)$ は連続ではない。

また、$0 < x < 1$ および $x > 1$ では、$f(x)$ はそれぞれ $0$ および $x$ という連続関数なので、$f(x)$ は連続である。

したがって、$f(x)$ が連続にならないのは、$x=1$ のときである。

3. 最終的な答え

$x=1$