確率変数 $X$ が正規分布 $N(5, 25)$ に従うとき、以下の確率を求めます。 (1) $P(X \le 10)$ (2) $P(4 \le X \le 8)$ (3) $P(X \ge 7)$

1. 問題の内容

確率変数 $X$ が正規分布 $N(5, 25)$ に従うとき、以下の確率を求めます。

(1) $P(X \le 10)$

(2) $P(4 \le X \le 8)$

(3) $P(X \ge 7)$

2. 解き方の手順

まず、確率変数 $X$ を標準化します。標準化された確率変数 $Z$ は、平均0、分散1の標準正規分布に従います。

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

ここで、$\mu = 5$ (平均), $\sigma^2 = 25$ (分散) なので、$\sigma = 5$ (標準偏差) です。

(1) $P(X \le 10)$ を求めます。

$Z = \frac{10 - 5}{5} = 1$

$P(X \le 10) = P(Z \le 1)$

標準正規分布表から、$P(Z \le 1) = 0.8413$

(2) $P(4 \le X \le 8)$ を求めます。

$Z_1 = \frac{4 - 5}{5} = -0.2$

$Z_2 = \frac{8 - 5}{5} = 0.6$

$P(4 \le X \le 8) = P(-0.2 \le Z \le 0.6) = P(Z \le 0.6) - P(Z \le -0.2)$

標準正規分布表から、$P(Z \le 0.6) = 0.7257$、 $P(Z \le -0.2) = 0.4207$

$P(4 \le X \le 8) = 0.7257 - 0.4207 = 0.3050$

(3) $P(X \ge 7)$ を求めます。

$Z = \frac{7 - 5}{5} = 0.4$

$P(X \ge 7) = P(Z \ge 0.4) = 1 - P(Z \le 0.4)$

標準正規分布表から、$P(Z \le 0.4) = 0.6554$

$P(X \ge 7) = 1 - 0.6554 = 0.3446$

3. 最終的な答え

(1) $P(X \le 10) = 0.8413$

(2) $P(4 \le X \le 8) = 0.3050$

(3) $P(X \ge 7) = 0.3446$