半径6cmの円Oと半径2cmの円O'がある。円Oの周上の点Aから、円O'を円Oの周に沿って滑らないように転がしたところ、点Bでちょうど1回転した。このとき、扇形OABの面積と、円O'が移動した部分の面積を求める問題である。円周率は $\pi$ とする。

1. 問題の内容

半径6cmの円Oと半径2cmの円O'がある。円Oの周上の点Aから、円O'を円Oの周に沿って滑らないように転がしたところ、点Bでちょうど1回転した。このとき、扇形OABの面積と、円O'が移動した部分の面積を求める問題である。円周率は $\pi$ とする。

2. 解き方の手順

まず、扇形OABの面積を求める。円O'が円Oの周りを1回転するとき、円O'の中心O'が描く円弧の長さは、円Oの円周に等しい。円O'の半径は2cmなので、円O'が1回転するときの中心角は $360^\circ$ である。円Oの半径は6cmなので、扇形OABの中心角は $360^\circ \times \frac{2}{6} = 120^\circ$ となる。

扇形OABの面積は、$\pi \times 6^2 \times \frac{120}{360} = \pi \times 36 \times \frac{1}{3} = 12\pi$ cm$^2$ である。

次に、円O'が移動した部分の面積を求める。円O'の中心が描く軌跡は、円Oから2cm外側に平行な曲線となる。円O'が移動した部分は、円O'の半径2cmの円が、中心O'が描く軌跡に沿って動いたときにできる領域である。

この領域の面積は、円O'が描く軌跡の長さ（円Oの円周）と、円O'の直径の積に等しい。円Oの円周は $2\pi \times 6 = 12\pi$ cmである。円O'の直径は $2 \times 2 = 4$ cmである。したがって、円O'が移動した部分の面積は $12\pi \times 4 = 48\pi$ cm$^2$ である。さらに、円O'が点Aと点Bにあるときの円の面積を加える必要がある。これは $2 \times \pi \times 2^2 = 8\pi$ となる。

したがって、移動した部分の面積は、$48\pi + 8\pi = 56\pi$ cm$^2$ である。

3. 最終的な答え

扇形OABの面積は

$12\pi$

円O'が移動した部分の面積は

$56\pi$