傾斜角60°のなめらかな斜面上の点Aに質量 $m$ [kg]の物体を置き、静かに放します。斜面に沿ってAから $L$ [m]だけ下方の点をBとします。重力加速度を $g$ [m/s$^2$]とします。 (a) 点Aでの加速度はいくらですか（斜面下方を正とする）。 (b) 点Aでの垂直抗力はいくらですか。 (c) 点Bでの速さはいくらですか（(a)の結果を踏まえた答案）。 (d) 点Bでの速さはいくらですか（(a)の結果を利用しない答案）。 (e) 物体がAB間を通過するのに要する時間はいくらですか。 (f) 以上を踏まえて、力積と運動量の変化量が確かに等しいことを示しましょう。

1. 問題の内容

傾斜角60°のなめらかな斜面上の点Aに質量 $m$ [kg]の物体を置き、静かに放します。斜面に沿ってAから $L$ [m]だけ下方の点をBとします。重力加速度を $g$ [m/s$^2$]とします。

(a) 点Aでの加速度はいくらですか（斜面下方を正とする）。

(b) 点Aでの垂直抗力はいくらですか。

(c) 点Bでの速さはいくらですか（(a)の結果を踏まえた答案）。

(d) 点Bでの速さはいくらですか（(a)の結果を利用しない答案）。

(e) 物体がAB間を通過するのに要する時間はいくらですか。

(f) 以上を踏まえて、力積と運動量の変化量が確かに等しいことを示しましょう。

2. 解き方の手順

(a) 斜面下向きを正とする。物体に働く力は重力 $mg$ であり、斜面下向きの成分は $mg\sin{60^\circ}$ です。したがって、運動方程式は $ma = mg\sin{60^\circ}$ となります。

$a = g\sin{60^\circ} = g\frac{\sqrt{3}}{2}$

(b) 斜面に垂直な方向の力のつり合いを考えます。垂直抗力を $N$ とすると、$N = mg\cos{60^\circ} = mg\frac{1}{2}$

(c) 点Aから点Bまでの距離が $L$ であり、加速度が $a = g\frac{\sqrt{3}}{2}$ であるので、等加速度運動の公式 $v^2 - v_0^2 = 2ax$ を使います。初速度 $v_0 = 0$ より、 $v^2 = 2aL = 2g\frac{\sqrt{3}}{2}L = \sqrt{3}gL$。したがって、$v = \sqrt{\sqrt{3}gL}$。

(d) 位置エネルギーの減少が運動エネルギーに変換されることを利用します。点Aを基準とした点Bの高さは $-L\sin{60^\circ} = -L\frac{\sqrt{3}}{2}$。したがって、位置エネルギーの減少は $mgL\frac{\sqrt{3}}{2}$ であり、これが運動エネルギー $\frac{1}{2}mv^2$ に等しくなります。

$\frac{1}{2}mv^2 = mgL\frac{\sqrt{3}}{2}$

$v^2 = \sqrt{3}gL$

$v = \sqrt{\sqrt{3}gL}$

(e) 等加速度運動の公式 $x = v_0t + \frac{1}{2}at^2$ を使います。$L = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}g\frac{\sqrt{3}}{2}t^2$。したがって、$t^2 = \frac{4L}{\sqrt{3}g}$。

$t = \sqrt{\frac{4L}{\sqrt{3}g}} = 2\sqrt{\frac{L}{\sqrt{3}g}}$

(f) 力積は $Ft = (mg\sin{60^\circ})t = mg\frac{\sqrt{3}}{2}t$ であり、運動量の変化は $mv - mv_0 = mv = m\sqrt{\sqrt{3}gL}$ です。

$Ft = mg\frac{\sqrt{3}}{2}2\sqrt{\frac{L}{\sqrt{3}g}} = mg\sqrt{\sqrt{3}\frac{L}{g}} = m\sqrt{\sqrt{3}gL}$

したがって、力積と運動量の変化は等しいです。

3. 最終的な答え

(a) $a = \frac{\sqrt{3}}{2}g$

(b) $N = \frac{1}{2}mg$

(c) $v = \sqrt{\sqrt{3}gL}$

(d) $v = \sqrt{\sqrt{3}gL}$

(e) $t = 2\sqrt{\frac{L}{\sqrt{3}g}}$

(f) 力積と運動量の変化は等しい。