与えられた4x4行列の行列式を因数分解する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} -a & a & a & b \\ a & -a & b & a \\ a & b & -a & a \\ b & a & a & -a \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を因数分解する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

-a & a & a & b \\

a & -a & b & a \\

a & b & -a & a \\

b & a & a & -a

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算し、因数分解を行います。

まず、行列式を計算しやすいように変形します。1行目に2行目以降を足し合わせます。

$\begin{vmatrix}

-a+a+a+b & a-a+b+a & a+b-a+a & b+a+a-a \\

a & -a & b & a \\

a & b & -a & a \\

b & a & a & -a

\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}

a+b & a+b & a+b & a+b \\

a & -a & b & a \\

a & b & -a & a \\

b & a & a & -a

\end{vmatrix}$

1行目の共通因子 $(a+b)$ をくくり出す。

$(a+b)\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

a & -a & b & a \\

a & b & -a & a \\

b & a & a & -a

\end{vmatrix}$

次に、2列目以降から1列目を引きます。

$(a+b)\begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 & 0 \\

a & -2a & b-a & 0 \\

a & b-a & -2a & 0 \\

b & a-b & a-b & -a-b

\end{vmatrix}$

1行目に関して余因子展開すると、

$(a+b)\begin{vmatrix}

-2a & b-a & 0 \\

b-a & -2a & 0 \\

a-b & a-b & -a-b

\end{vmatrix}$

3列目に関して余因子展開すると、

$(a+b)(-a-b)\begin{vmatrix}

-2a & b-a \\

b-a & -2a

\end{vmatrix}$

$=(a+b)(-a-b)((-2a)(-2a) - (b-a)(b-a))$

$=(a+b)(-a-b)(4a^2 - (b^2 - 2ab + a^2))$

$=(a+b)(-a-b)(3a^2 + 2ab - b^2)$

$=-(a+b)^2 (3a^2 + 2ab - b^2)$

$=-(a+b)^2 (3a-b)(a+b)$

$=-(a+b)^3 (3a-b)$

3. 最終的な答え

$-(a+b)^3 (3a-b)$

あるいは

$(a+b)^3 (b-3a)$