初項が10、公差が-3の等差数列$\{a_n\}$について、 (1) $-53$ は第何項か。 (2) 初めて $-100$ より小さくなるのは第何項か。

1. 問題の内容

初項が10、公差が-3の等差数列$\{a_n\}$について、

(1) $-53$ は第何項か。

(2) 初めて $-100$ より小さくなるのは第何項か。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で与えられます。ここで、$a_1$ は初項、$d$ は公差です。

この問題の場合、$a_1 = 10$、$d = -3$ です。したがって、$a_n = 10 + (n-1)(-3) = 10 - 3n + 3 = -3n + 13$ となります。

$a_n = -53$ となる $n$ を求めます。

$-53 = -3n + 13$

$3n = 13 + 53$

$3n = 66$

$n = 22$

(2) $a_n < -100$ となる $n$ を求めます。

$-3n + 13 < -100$

$-3n < -100 - 13$

$-3n < -113$

$3n > 113$

$n > \frac{113}{3} = 37.666...$

初めて $-100$ より小さくなるのは第 $38$ 項です。

3. 最終的な答え

(1) 第22項

(2) 第38項