次の極限値を求めます。 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sqrt{2x+9}-3} $$

1. 問題の内容

次の極限値を求めます。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sqrt{2x+9}-3}$$

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化します。分母と分子に $\sqrt{2x+9}+3$ を掛けます。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sqrt{2x+9}-3} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sqrt{2x+9}-3} \cdot \frac{\sqrt{2x+9}+3}{\sqrt{2x+9}+3}$$

$$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x (\sqrt{2x+9}+3)}{(\sqrt{2x+9})^2 - 3^2}$$

$$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x (\sqrt{2x+9}+3)}{(2x+9) - 9}$$

$$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x (\sqrt{2x+9}+3)}{2x}$$

次に、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用するために、$\frac{\sin 3x}{3x}$ の形を作ります。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x (\sqrt{2x+9}+3)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{3x}{2x} \cdot (\sqrt{2x+9}+3)$$

$$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{3}{2} \cdot (\sqrt{2x+9}+3)$$

$x \to 0$ のとき、$3x \to 0$ なので、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1$ となります。

$$= 1 \cdot \frac{3}{2} \cdot (\sqrt{2(0)+9}+3)$$

$$= \frac{3}{2} \cdot (\sqrt{9}+3)$$

$$= \frac{3}{2} \cdot (3+3)$$

$$= \frac{3}{2} \cdot 6$$

$$= 9$$

3. 最終的な答え

9