定積分 $\int_{0}^{4} |(x-4)(x-1)^3| dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{4} |(x-4)(x-1)^3| dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分区間 $[0, 4]$ において、被積分関数 $(x-4)(x-1)^3$ の符号を調べます。

$x=1$ と $x=4$ が関数 $(x-4)(x-1)^3$ が0となる点です。

- $0 \le x < 1$ のとき: $(x-4)<0$ かつ $(x-1)^3 < 0$ なので、 $(x-4)(x-1)^3 > 0$

- $1 < x < 4$ のとき: $(x-4)<0$ かつ $(x-1)^3 > 0$ なので、 $(x-4)(x-1)^3 < 0$

- $x = 1, 4$ のとき: $(x-4)(x-1)^3 = 0$

したがって、積分を区間 $[0, 1]$ と $[1, 4]$ に分割し、絶対値を外します。

$\int_{0}^{4} |(x-4)(x-1)^3| dx = \int_{0}^{1} (x-4)(x-1)^3 dx - \int_{1}^{4} (x-4)(x-1)^3 dx$

ここで、 $(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ なので、

$(x-4)(x-1)^3 = (x-4)(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = x^4 - 3x^3 + 3x^2 - x - 4x^3 + 12x^2 - 12x + 4 = x^4 - 7x^3 + 15x^2 - 13x + 4$

したがって、

$\int_{0}^{1} (x^4 - 7x^3 + 15x^2 - 13x + 4) dx = \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{7x^4}{4} + 5x^3 - \frac{13x^2}{2} + 4x \right]_{0}^{1} = \frac{1}{5} - \frac{7}{4} + 5 - \frac{13}{2} + 4 = \frac{4 - 35 + 100 - 130 + 80}{20} = \frac{19}{20}$

$\int_{1}^{4} (x^4 - 7x^3 + 15x^2 - 13x + 4) dx = \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{7x^4}{4} + 5x^3 - \frac{13x^2}{2} + 4x \right]_{1}^{4} = \left( \frac{4^5}{5} - \frac{7 \cdot 4^4}{4} + 5 \cdot 4^3 - \frac{13 \cdot 4^2}{2} + 4 \cdot 4 \right) - \left( \frac{1}{5} - \frac{7}{4} + 5 - \frac{13}{2} + 4 \right)$

$= \left( \frac{1024}{5} - 7 \cdot 64 + 5 \cdot 64 - 13 \cdot 8 + 16 \right) - \frac{19}{20} = \frac{1024}{5} - 448 + 320 - 104 + 16 - \frac{19}{20} = \frac{1024}{5} - 216 - \frac{19}{20} = \frac{4096 - 4320 - 19}{20} = \frac{-243}{20}$

$\int_{0}^{4} |(x-4)(x-1)^3| dx = \frac{19}{20} - \left( \frac{-243}{20} \right) = \frac{19+243}{20} = \frac{262}{20} = \frac{131}{10}$

3. 最終的な答え

$\frac{131}{10}$