自然数 $n$ に対して、2つの数 $x$、$y$ の和 $x+y$ と積 $xy$ が整数であるとき、$x^n + y^n$ が整数であることを数学的帰納法によって証明する。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、2つの数 $x$、$y$ の和 $x+y$ と積 $xy$ が整数であるとき、$x^n + y^n$ が整数であることを数学的帰納法によって証明する。

2. 解き方の手順

(1) $n=1$ のとき:

$x^1 + y^1 = x+y$ であり、$x+y$ は整数であるという仮定があるので、$n=1$ のとき、$x^n + y^n$ は整数である。

(2) $n=2$ のとき:

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$ であり、$x+y$ と $xy$ は整数であるという仮定があるので、$x^2 + y^2$ は整数である。

(3) $n=k$ と $n=k-1$ のとき、$x^n + y^n$ が整数であると仮定する。つまり、$x^k + y^k$ と $x^{k-1} + y^{k-1}$ が整数であると仮定する。

(4) $n=k+1$ のとき、$x^{k+1} + y^{k+1}$ が整数であることを示す。

$x^{k+1} + y^{k+1} = (x+y)(x^k + y^k) - xy(x^{k-1} + y^{k-1})$

ここで、$x+y$、$x^k + y^k$、$xy$、$x^{k-1} + y^{k-1}$ はすべて整数であるという仮定から、$(x+y)(x^k + y^k)$ と $xy(x^{k-1} + y^{k-1})$ は整数である。したがって、$x^{k+1} + y^{k+1}$ は整数の和と積で表されるため、整数である。

(5) 数学的帰納法の原理により、すべての自然数 $n$ について、$x^n + y^n$ は整数である。

3. 最終的な答え

$x^n + y^n$ は整数である。