x, y は実数とする。以下の3つの命題について、左側の条件が右側の条件であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、またはどれでもないかを判断し、その根拠となる反例を示す。 (1) $x=2$ であることは、$x^2-5x+6=0$ であるための何か。 (2) 四角形の2本の対角線の長さが等しいことは、長方形であるための何か。 (3) $x+y$ が無理数であることは、$x$と$y$がともに無理数であるための何か。

1. 問題の内容

x, y は実数とする。以下の3つの命題について、左側の条件が右側の条件であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、またはどれでもないかを判断し、その根拠となる反例を示す。

(1) $x=2$ であることは、$x^2-5x+6=0$ であるための何か。

(2) 四角形の2本の対角線の長さが等しいことは、長方形であるための何か。

(3) $x+y$ が無理数であることは、$x$と$y$がともに無理数であるための何か。

2. 解き方の手順

(1) $x=2$ であることは、$x^2-5x+6=0$ であるための何か。

* $x=2 \implies x^2-5x+6=0$

$x=2$ のとき、$x^2-5x+6 = 2^2 - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$ であるので、これは真である。

* $x=2 \impliedby x^2-5x+6=0$

$x^2-5x+6=0$ を解くと、$(x-2)(x-3)=0$ より $x=2$ または $x=3$ となる。

よって、$x^2-5x+6=0 \implies x=2$ は偽である。

反例は $x=3$ である。

したがって、$x=2$ は $x^2-5x+6=0$ であるための十分条件であるが必要条件ではない。

(2) 四角形の2本の対角線の長さが等しいことは、長方形であるための何か。

* 2本の対角線の長さが等しい $\implies$ 長方形

これは偽である。

反例として、等脚台形が挙げられる。等脚台形は対角線の長さが等しいが、長方形ではない。

* 2本の対角線の長さが等しい $\impliedby$ 長方形

長方形の対角線の長さは等しいので、これは真である。

したがって、四角形の2本の対角線の長さが等しいことは、長方形であるための必要条件であるが十分条件ではない。

(3) $x+y$ が無理数であることは、$x$と$y$がともに無理数であるための何か。

* $x+y$ が無理数 $\implies$ $x$と$y$がともに無理数

これは偽である。

反例として、$x = \sqrt{2}, y = 1 - \sqrt{2}$ が挙げられる。このとき、$x+y = \sqrt{2} + (1-\sqrt{2}) = 1$ となり、 $x+y$ は無理数ではない。

* $x+y$ が無理数 $\impliedby$ $x$と$y$がともに無理数

これは偽である。

反例として、$x = \sqrt{2}, y = -\sqrt{2}$ が挙げられる。このとき、$x+y = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$ となり、$x+y$ は無理数ではない。

したがって、$x+y$ が無理数であることは、$x$と$y$がともに無理数であるための必要条件でも十分条件でもない。

3. 最終的な答え

(1) ②

$x=2 \implies x^2-5x+6=0$ は真。

$x=2 \impliedby x^2-5x+6=0$ は偽。反例：$x=3$

(2) ①

2本の対角線の長さが等しい $\implies$ 長方形は偽。反例：等脚台形。

2本の対角線の長さが等しい $\impliedby$ 長方形は真。

(3) ④

$x+y$ が無理数 $\implies$ $x$と$y$がともに無理数は偽。反例：$x = \sqrt{2}, y = 1 - \sqrt{2}$.

$x+y$ が無理数 $\impliedby$ $x$と$y$がともに無理数は偽。反例：$x = \sqrt{2}, y = -\sqrt{2}$.