線形写像の核と像が部分空間であることの説明と、与えられた行列 $A$ で定まる線形写像 $f_A$ の核 $Ker f_A$ と像 $Im f_A$ の次元および基底をそれぞれ求める問題です。 行列 $A$ は以下で与えられます。 $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 2 & -4 & 2 & 4 \\ -3 & 6 & -1 & -7 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

線形写像の核と像が部分空間であることの説明と、与えられた行列 $A$ で定まる線形写像 $f_A$ の核 $Ker f_A$ と像 $Im f_A$ の次元および基底をそれぞれ求める問題です。

行列 $A$ は以下で与えられます。

$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 2 & -4 & 2 & 4 \\ -3 & 6 & -1 & -7 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 核と像が部分空間であることの説明

* **核が部分空間であること:** 線形写像 $f: V \rightarrow W$ の核 $Ker f = \{v \in V \mid f(v) = 0\}$ を考えます。$v_1, v_2 \in Ker f$ ならば、$f(v_1) = 0$ かつ $f(v_2) = 0$ です。線形写像の性質より、$f(v_1 + v_2) = f(v_1) + f(v_2) = 0 + 0 = 0$ となり、$v_1 + v_2 \in Ker f$ です。また、$c$ をスカラーとすると、$f(cv_1) = cf(v_1) = c \cdot 0 = 0$ となり、$cv_1 \in Ker f$ です。したがって、核は部分空間です。

* **像が部分空間であること:** 線形写像 $f: V \rightarrow W$ の像 $Im f = \{w \in W \mid \exists v \in V, f(v) = w\}$ を考えます。$w_1, w_2 \in Im f$ ならば、$f(v_1) = w_1$ かつ $f(v_2) = w_2$ となる $v_1, v_2 \in V$ が存在します。このとき、$w_1 + w_2 = f(v_1) + f(v_2) = f(v_1 + v_2)$ となり、$v_1 + v_2 \in V$ なので、$w_1 + w_2 \in Im f$ です。また、$c$ をスカラーとすると、$cw_1 = c f(v_1) = f(cv_1)$ となり、$cv_1 \in V$ なので、$cw_1 \in Im f$ です。したがって、像は部分空間です。

(2) 行列 $A$ の簡約化

まず、行列 $A$ を行基本変形によって簡約化します。

$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 2 & -4 & 2 & 4 \\ -3 & 6 & -1 & -7 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & 2 \\ -3 & 6 & -1 & -7 \end{pmatrix}$

3行目に1行目の3倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & 8 & -4 \end{pmatrix}$

3行目に2行目の2倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

2行目を $-1/4$ 倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

1行目から2行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 5/2 \\ 0 & 0 & 1 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

(3) 核 $Ker f_A$ の次元と基底の計算

簡約化された行列から、$x_1 - 2x_2 + (5/2)x_4 = 0$ および $x_3 - (1/2)x_4 = 0$ が得られます。したがって、$x_1 = 2x_2 - (5/2)x_4$ および $x_3 = (1/2)x_4$ です。$x_2 = s$ および $x_4 = t$ とすると、解は

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -5/2 \\ 0 \\ 1/2 \\ 1 \end{pmatrix}$

と表されます。したがって、$Ker f_A$ の基底は $\left\{ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -5/2 \\ 0 \\ 1/2 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$ であり、次元は 2 です。

(4) 像 $Im f_A$ の次元と基底の計算

簡約化された行列から、rank(A) = 2 であることがわかります。したがって、$Im f_A$ の次元は 2 です。像の基底は、行列 $A$ の線形独立な列ベクトルから選ぶことができます。例えば、1列目と3列目は線形独立なので、$Im f_A$ の基底は $\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \right\}$ となります。

3. 最終的な答え

* $Ker f_A$ の次元: 2

* $Ker f_A$ の基底: $\left\{ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -5/2 \\ 0 \\ 1/2 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$

* $Im f_A$ の次元: 2

* $Im f_A$ の基底: $\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \right\}$