複素数 $z$ に関する2つの次の方程式を考える。 方程式1: $z\overline{z} = 4$ 方程式2: $|z| = |z-\sqrt{3}+i|$ (1) 方程式1, 2それぞれの解 $z$ 全体が表す図形を複素数平面上に図示する。 (2) 方程式1, 2の共通解となる複素数 $z$ をすべて求める。 (3) (2)で求めたすべての複素数の積を $w$ とおく。このとき、$w^n$ が負の実数となるための整数 $n$ の必要十分条件を求める。

1. 問題の内容

複素数 $z$ に関する2つの次の方程式を考える。

方程式1: $z\overline{z} = 4$

方程式2: $|z| = |z-\sqrt{3}+i|$

(1) 方程式1, 2それぞれの解 $z$ 全体が表す図形を複素数平面上に図示する。

(2) 方程式1, 2の共通解となる複素数 $z$ をすべて求める。

(3) (2)で求めたすべての複素数の積を $w$ とおく。このとき、$w^n$ が負の実数となるための整数 $n$ の必要十分条件を求める。

2. 解き方の手順

(1)

方程式1について、$z = x+yi$ とすると、$\overline{z} = x-yi$ より、

$z\overline{z} = (x+yi)(x-yi) = x^2+y^2 = 4$

これは中心が原点、半径が2の円を表す。

方程式2について、$z = x+yi$ とすると、

$|z| = |z-\sqrt{3}+i|$

$|x+yi| = |x+yi-\sqrt{3}+i|$

$|x+yi| = |(x-\sqrt{3}) + (y+1)i|$

$\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{(x-\sqrt{3})^2 + (y+1)^2}$

$x^2+y^2 = (x-\sqrt{3})^2 + (y+1)^2$

$x^2+y^2 = x^2-2\sqrt{3}x+3 + y^2+2y+1$

$0 = -2\sqrt{3}x + 2y + 4$

$2\sqrt{3}x - 2y = 4$

$\sqrt{3}x - y = 2$

$y = \sqrt{3}x - 2$

これは傾きが $\sqrt{3}$、切片が -2 の直線を表す。

(2)

共通解を求める。

$x^2+y^2 = 4$ に $y = \sqrt{3}x - 2$ を代入する。

$x^2 + (\sqrt{3}x-2)^2 = 4$

$x^2 + 3x^2 - 4\sqrt{3}x + 4 = 4$

$4x^2 - 4\sqrt{3}x = 0$

$4x(x-\sqrt{3}) = 0$

$x = 0, \sqrt{3}$

$x=0$ のとき、$y = \sqrt{3}(0) - 2 = -2$

$x=\sqrt{3}$ のとき、$y = \sqrt{3}(\sqrt{3}) - 2 = 3 - 2 = 1$

よって、共通解は $z = -2i, \sqrt{3} + i$

(3)

(2)で求めた複素数の積 $w = (-2i)(\sqrt{3}+i) = -2\sqrt{3}i - 2i^2 = 2 - 2\sqrt{3}i$

$w = 2 - 2\sqrt{3}i$ を極形式で表すと

$|w| = \sqrt{2^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$

$\arg(w) = \theta$ とすると、

$\cos\theta = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\sin\theta = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\theta = -\frac{\pi}{3}$

$w = 4(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$

$w^n = 4^n (\cos(-\frac{n\pi}{3}) + i\sin(-\frac{n\pi}{3}))$

$w^n$ が負の実数になるためには、

$\sin(-\frac{n\pi}{3}) = 0$ かつ $\cos(-\frac{n\pi}{3}) = -1$ が必要である。

$\sin(-\frac{n\pi}{3}) = 0$ より $-\frac{n\pi}{3} = k\pi$ (kは整数)

$n = -3k$ (kは整数)

$n$ は3の倍数である。

$\cos(-\frac{n\pi}{3}) = \cos(k\pi) = (-1)^k = -1$

よって、$k$ は奇数である必要がある。

$k = 2m+1$ (mは整数)

$n = -3(2m+1) = -6m-3$ (mは整数)

つまり、$n = 6l+3$ (lは整数)

3. 最終的な答え

(1)

方程式1: 中心が原点、半径が2の円

方程式2: $y = \sqrt{3}x - 2$ の直線

(2)

$z = -2i, \sqrt{3} + i$

(3)

$n = 6l+3$ (lは整数)

言い換えると、$n \equiv 3 \pmod{6}$