与えられた構造物に対して、節点法または切断法を用いて各部材の軸力を求め、圧縮力か引張力かを示す問題です。構造物は対称性を持つため、それを有効活用することが求められています。

1. 問題の内容

与えられた構造物に対して、節点法または切断法を用いて各部材の軸力を求め、圧縮力か引張力かを示す問題です。構造物は対称性を持つため、それを有効活用することが求められています。

2. 解き方の手順

対称性より、以下のことが言えます。

* 部材 AB, BC, CD, DE の軸力は対称

* 部材 AG, BH, CI, DJ の軸力は対称

* 部材 BG, CH, DI の軸力は対称

* 部材 FG, GH, HI, IJ の軸力は対称

まず反力を求めます。全体の鉛直方向の力の釣り合いを考えると、支点 A と E における反力 $R_A$ と $R_E$ は等しく、以下のようになります。

$R_A + R_E = P/2 + P + P + P/2 = 3P$

$R_A = R_E = (3P)/2 = 1.5P$

次に、節点 A における力の釣り合いを考えます。

$R_A$ が上向きに $1.5P$ であるので、部材 AB と AG に働く力をそれぞれ $F_{AB}$ と $F_{AG}$ とします。

鉛直方向の釣り合いより、

$R_A + F_{AG} * \sin(45^\circ) = 0$

$F_{AG} * \sin(45^\circ) = -1.5P$

$F_{AG} = -1.5P / \sin(45^\circ) = -1.5P / (1/\sqrt{2}) = -1.5\sqrt{2}P$

$F_{AG} = -1.5\sqrt{2}P$ （圧縮力）

水平方向の釣り合いより、

$F_{AB} + F_{AG} * \cos(45^\circ) = 0$

$F_{AB} = -F_{AG} * \cos(45^\circ) = - (-1.5\sqrt{2}P) * (1/\sqrt{2}) = 1.5P$

$F_{AB} = 1.5P$ (引張力)

次に、節点 G における力の釣り合いを考えます。

$F_{FG}, F_{BG}, F_{GH}$ をそれぞれ部材 FG, BG, GH に働く力とします。

$F_{AG}$ は節点 A で求めたので、$F_{AG} = -1.5\sqrt{2}P$ (圧縮力)。節点 G では、$1.5\sqrt{2}P$ が作用します。

鉛直方向の釣り合いより、

$-P/2 + F_{BG} * \sin(45^\circ) - F_{AG} * \sin(45^\circ) = 0$

$-P/2 + F_{BG} * (1/\sqrt{2}) + 1.5\sqrt{2}P * (1/\sqrt{2}) = 0$

$F_{BG} / \sqrt{2} = -1.5P + P/2 = -P$

$F_{BG} = -P\sqrt{2}$ (圧縮力)

水平方向の釣り合いより、

$F_{FG} + F_{GH} - F_{AG} * \cos(45^\circ) - F_{BG} * \cos(45^\circ) = 0$

$F_{FG} + F_{GH} + 1.5\sqrt{2}P (1/\sqrt{2}) + P\sqrt{2} (1/\sqrt{2}) = 0$

$F_{FG} + F_{GH} + 1.5P + P = 0$

$F_{FG} + F_{GH} = -2.5P$

構造の対称性より、$F_{FG} = F_{GH}$ なので、

$2 F_{FG} = -2.5P$

$F_{FG} = -1.25P$ (圧縮力)

したがって、

$F_{FG} = F_{IJ} = -1.25P$ (圧縮力)

$F_{GH} = F_{HI} = -1.25P$ (圧縮力)

$F_{AB} = F_{DE} = 1.5P$ (引張力)

$F_{BC} = F_{CD} = 1.5P$ (対称性より等しい)

$F_{AG} = F_{JE} = -1.5\sqrt{2}P$ (圧縮力)

$F_{BH} = F_{ID} = -1.5\sqrt{2}P$ (対称性より等しい)

$F_{BG} = F_{DI} = -P\sqrt{2}$ (圧縮力)

$F_{CH} = -P\sqrt{2}$ (対称性より等しい)

節点 B における力の釣り合いを考えます。

水平方向の釣り合いより、

$-F_{AB} + F_{BC} + F_{BG} * \cos(45^\circ) = 0$

$-1.5P + F_{BC} + (-P\sqrt{2}) * (1/\sqrt{2}) = 0$

$-1.5P + F_{BC} - P = 0$

$F_{BC} = 2.5P$ (引張力)

節点 C における力の釣り合いを考えます。

$F_{CH} = -P\sqrt{2}$ を利用して，$F_{CD}$ を求める。

$F_{CD} = F_{BC} = 2.5P$.

対称性より、$F_{CD} = 2.5P$ (引張力)

3. 最終的な答え

各部材の軸力は以下のようになります。正の値は引張力、負の値は圧縮力を表します。

* $F_{AB} = F_{DE} = 1.5P$ (引張力)

* $F_{BC} = F_{CD} = 2.5P$ (引張力)

* $F_{AG} = F_{JE} = -1.5\sqrt{2}P$ (圧縮力)

* $F_{BH} = F_{ID} = -1.5\sqrt{2}P$ (圧縮力)

* $F_{BG} = F_{DI} = -P\sqrt{2}$ (圧縮力)

* $F_{CH} = -P\sqrt{2}$ (圧縮力)

* $F_{FG} = F_{IJ} = -1.25P$ (圧縮力)

* $F_{GH} = F_{HI} = -1.25P$ (圧縮力)