SENSEI AI
About App

## 解答

代数学行列式因数分解ヴァンデルモンド行列式
2025/7/26
## 解答
###

1. 問題の内容

与えられた複数の行列式を因数分解した形で表す問題です。具体的には以下の7つの行列式について、それぞれ因数分解を行います。
(1) ∣1a+bab1b+cbc1c+aca∣\begin{vmatrix} 1 & a+b & ab \\ 1 & b+c & bc \\ 1 & c+a & ca \end{vmatrix}
(2) ∣111a2b2c2a3b3c3∣\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix}
(3) ∣xyzzxyyzx∣\begin{vmatrix} x & y & z \\ z & x & y \\ y & z & x \end{vmatrix}
(4) ∣1x24−1xx30∣\begin{vmatrix} 1 & x & 2 \\ 4 & -1 & x \\ x & 3 & 0 \end{vmatrix}
(5) ∣x+2x−242−1xx+113∣\begin{vmatrix} x+2 & x-2 & 4 \\ 2 & -1 & x \\ x+1 & 1 & 3 \end{vmatrix}
(6) ∣3+2x12x4+x2x15+x∣\begin{vmatrix} 3+2x & 1 & 2 \\ x & 4+x & 2 \\ x & 1 & 5+x \end{vmatrix}
(7) ∣abbbbabbbbabbbba∣\begin{vmatrix} a & b & b & b \\ b & a & b & b \\ b & b & a & b \\ b & b & b & a \end{vmatrix}
###

2. 解き方の手順

各行列式について、以下の手順で因数分解を行います。
(1) 行列式の計算：行列式を展開し、多項式を得ます。
(2) 因数分解：得られた多項式を因数分解します。
**解答**
(1) ∣1a+bab1b+cbc1c+aca∣\begin{vmatrix} 1 & a+b & ab \\ 1 & b+c & bc \\ 1 & c+a & ca \end{vmatrix}
1行目を基準に余因子展開します。
=1(b+c)(ca)+(a+b)(bc)+ab(c+a)−ab(b+c)−(a+b)(ca)−(b+c)(bc)= 1(b+c)(ca) + (a+b)(bc) + ab(c+a) - ab(b+c) - (a+b)(ca) - (b+c)(bc)
=bca+c2a+abc+b2c+abc+a2b−ab2−abc−a2c−abc−b2c−bc2= bca + c^2a + abc + b^2c + abc + a^2b - ab^2 - abc - a^2c - abc - b^2c - bc^2
=a2b−a2c−ab2+ac2+b2c−bc2= a^2b - a^2c - ab^2 + ac^2 + b^2c - bc^2
=a2(b−c)+a(c2−b2)+bc(b−c)= a^2(b-c) + a(c^2-b^2) + bc(b-c)
=(b−c)(a2−a(b+c)+bc)= (b-c)(a^2 - a(b+c) + bc)
=(b−c)(a−b)(a−c)= (b-c)(a-b)(a-c)
=−(a−b)(b−c)(c−a)= -(a-b)(b-c)(c-a)
(2) ∣111a2b2c2a3b3c3∣\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix}
これはヴァンデルモンドの行列式です。
=(b2−a2)(c3−a3)−(c2−a2)(b3−a3)= (b^2-a^2)(c^3 - a^3) - (c^2-a^2)(b^3 - a^3)
もしくは以下のように計算します。
第2列から第1列を引き、第3列から第1列を引きます。
∣100a2b2−a2c2−a2a3b3−a3c3−a3∣\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a^2 & b^2-a^2 & c^2-a^2 \\ a^3 & b^3-a^3 & c^3-a^3 \end{vmatrix}
=(b2−a2)(c3−a3)−(c2−a2)(b3−a3)= (b^2-a^2)(c^3-a^3) - (c^2-a^2)(b^3 - a^3)
=(b−a)(b+a)(c−a)(c2+ca+a2)−(c−a)(c+a)(b−a)(b2+ba+a2)= (b-a)(b+a)(c-a)(c^2 + ca + a^2) - (c-a)(c+a)(b-a)(b^2 + ba + a^2)
=(b−a)(c−a)[(b+a)(c2+ca+a2)−(c+a)(b2+ba+a2)]= (b-a)(c-a)[(b+a)(c^2 + ca + a^2) - (c+a)(b^2 + ba + a^2)]
=(b−a)(c−a)[bc2+bca+ba2+ac2+a2c+a3−cb2−cba−ca2−ab2−a2b−a3]= (b-a)(c-a)[bc^2 + bca + ba^2 + ac^2 + a^2c + a^3 - cb^2 - cba - ca^2 - ab^2 - a^2b - a^3]
=(b−a)(c−a)[bc2−cb2+ac2−ab2+ba2−ca2+bca−cba+a2c−a2b]= (b-a)(c-a)[bc^2 - cb^2 + ac^2 - ab^2 + ba^2 - ca^2 + bca - cba + a^2c - a^2b]
=(b−a)(c−a)[bc(c−b)+a(c2−b2)+a2(b−c)]= (b-a)(c-a)[bc(c-b) + a(c^2 - b^2) + a^2(b-c)]
=(b−a)(c−a)[bc(c−b)+a(c−b)(c+b)−a2(c−b)]= (b-a)(c-a)[bc(c-b) + a(c-b)(c+b) - a^2(c-b)]
=(b−a)(c−a)(c−b)[bc+a(c+b)−a2]= (b-a)(c-a)(c-b)[bc + a(c+b) - a^2]
=(b−a)(c−a)(c−b)[bc+ac+ab−a2]= (b-a)(c-a)(c-b)[bc + ac + ab - a^2]
=(b−a)(c−a)(c−b)[b(a+c)−a(a−c)]= (b-a)(c-a)(c-b)[b(a+c) -a(a-c)]
=(b−a)(c−a)(c−b)[ab+bc−a2+ac]= (b-a)(c-a)(c-b)[ab + bc - a^2 + ac]
$= (b-a)(c-a)(c-b)[(b-a)(c-a)(c-b)(bc+ac-a^2+ab)] \rightarrow 間違い
=(b−a)(c−a)[(b2−a2)(c2+ac+a2)−(c2−a2)(b2+ba+a2)] = (b-a)(c-a) [(b^2 - a^2)(c^2 + ac + a^2) - (c^2-a^2)(b^2+ba+a^2)]
=(b−a)(c−a)(b−c)(bc+ab+ac+a2)=(b-a)(c-a)(b-c)(bc+ab+ac+a^2)
=(a−b)(b−c)(c−a)(ab+bc+ca)=(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)
=(b−a)(c−a)(c2+ac+a2−(c+a)(a2+ab+b2))= (b-a)(c-a)(c^2+ac+a^2 - (c+a)(a^2+ab+b^2))
=(b−a)(c−a)(c−b)[(b+a)(a2+ac+c2)−(c+a)(a2+ab+b2)]= (b-a)(c-a)(c-b)[(b+a)(a^2+ac+c^2)-(c+a)(a^2+ab+b^2)]
=(a−b)(b−c)(c−a)(ab+ac+bc)= (a-b)(b-c)(c-a)(ab+ac+bc)
=(b−a)(c−a)(bc+ba+ca+ab+bc+ca−a2−a2−ab−ab−ca−ca)= (b-a)(c-a)(bc + ba + ca + ab + bc + ca - a^2 - a^2 - ab - ab - ca - ca)
=(a−b)(b−c)(c−a)(bc+ca+ab)= (a-b)(b-c)(c-a)(bc+ca+ab).
(3) ∣xyzzxyyzx∣\begin{vmatrix} x & y & z \\ z & x & y \\ y & z & x \end{vmatrix}
=x(x2−yz)−y(zx−y2)+z(z2−xy)= x(x^2 - yz) - y(zx-y^2) + z(z^2 - xy)
=x3−xyz−xyz+y3+z3−xyz= x^3 - xyz - xyz + y^3 + z^3 - xyz
=x3+y3+z3−3xyz= x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz
=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)= (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)
(4) ∣1x24−1xx30∣\begin{vmatrix} 1 & x & 2 \\ 4 & -1 & x \\ x & 3 & 0 \end{vmatrix}
=1(−1(0)−x(3))−x(4(0)−x(x))+2(4(3)−(−1)x)= 1(-1(0) - x(3)) - x(4(0) - x(x)) + 2(4(3) - (-1)x)
=−3x+x3+2(12+x)= -3x + x^3 + 2(12+x)
=x3−3x+24+2x= x^3 - 3x + 24 + 2x
=x3−x+24= x^3 - x + 24
残念ながら、この三次式は有理根を持たないので、これ以上因数分解できません。
(5) ∣x+2x−242−1xx+113∣\begin{vmatrix} x+2 & x-2 & 4 \\ 2 & -1 & x \\ x+1 & 1 & 3 \end{vmatrix}
=(x+2)(−3−x)−(x−2)(6−x2)+4(2+x+1)= (x+2)(-3-x) - (x-2)(6-x^2) + 4(2+x+1)
=−3x−x2−6−2x−(6x−x3−12+2x2)+4(x+3)= -3x -x^2 - 6 - 2x - (6x-x^3 - 12 + 2x^2) + 4(x+3)
=−x2−5x−6−6x+x3+12−2x2+4x+12= -x^2 - 5x - 6 - 6x + x^3 + 12 - 2x^2 + 4x + 12
=x3−3x2−7x+18= x^3 - 3x^2 - 7x + 18
この三次式は有理根を持たないので、これ以上因数分解できません。
(6) ∣3+2x12x4+x2x15+x∣\begin{vmatrix} 3+2x & 1 & 2 \\ x & 4+x & 2 \\ x & 1 & 5+x \end{vmatrix}
=(3+2x)((4+x)(5+x)−2)−1(x(5+x)−2x)+2(x−x(4+x))= (3+2x)((4+x)(5+x) - 2) - 1(x(5+x) - 2x) + 2(x - x(4+x))
=(3+2x)(20+9x+x2−2)−(5x+x2−2x)+2(x−4x−x2)= (3+2x)(20 + 9x + x^2 - 2) - (5x + x^2 - 2x) + 2(x - 4x - x^2)
=(3+2x)(x2+9x+18)−(x2+3x)+2(−3x−x2)= (3+2x)(x^2 + 9x + 18) - (x^2 + 3x) + 2(-3x - x^2)
=3x2+27x+54+2x3+18x2+36x−x2−3x−6x−2x2= 3x^2 + 27x + 54 + 2x^3 + 18x^2 + 36x - x^2 - 3x - 6x - 2x^2
=2x3+18x2+54x+54= 2x^3 + 18x^2 + 54x + 54
=2(x3+9x2+27x+27)= 2(x^3 + 9x^2 + 27x + 27)
=2(x+3)3= 2(x+3)^3
(7) ∣abbbbabbbbabbbba∣\begin{vmatrix} a & b & b & b \\ b & a & b & b \\ b & b & a & b \\ b & b & b & a \end{vmatrix}
各行から bb を引きます。
∣a−b0000a−b0000a−b0bbba∣\begin{vmatrix} a-b & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a-b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a-b & 0 \\ b & b & b & a \end{vmatrix}
各行に bb を加える操作は行列式の値を変えません。
1行目に2,3,4行を足します。
∣a+3ba+3ba+3ba+3bbabbbbabbbba∣\begin{vmatrix} a+3b & a+3b & a+3b & a+3b \\ b & a & b & b \\ b & b & a & b \\ b & b & b & a \end{vmatrix}
=(a+3b)∣1111babbbbabbbba∣ = (a+3b) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ b & a & b & b \\ b & b & a & b \\ b & b & b & a \end{vmatrix}
各列から1列目を引きます。
=(a+3b)∣1000ba−b00b0a−b0b00a−b∣=(a+3b)(a−b)3= (a+3b) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ b & a-b & 0 & 0 \\ b & 0 & a-b & 0 \\ b & 0 & 0 & a-b \end{vmatrix} = (a+3b)(a-b)^3
###

3. 最終的な答え

(1) −(a−b)(b−c)(c−a)-(a-b)(b-c)(c-a)
(2) (a−b)(b−c)(c−a)(ab+bc+ca)(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)
(3) (x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)(x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)
(4) x3−x+24x^3 - x + 24
(5) x3−3x2−7x+18x^3 - 3x^2 - 7x + 18
(6) 2(x+3)32(x+3)^3
(7) (a+3b)(a−b)3(a+3b)(a-b)^3

「代数学」の関連問題

関数 $f(x) = ax^2 + 2ax + b$ において、$1 \le x \le 3$ の範囲での最大値が10、最小値が-2となるとき、定数 $a, b$ の値を求める。

二次関数最大値最小値平方完成連立方程式
2025/7/29

実数 $k$ を定数とする3次式 $P(x) = x^3 - 2x^2 + kx - 1$ が、$x-1$ で割り切れるとする。 (1) $k$ の値を求める。 (2) 方程式 $P(x) = 0$ ...

多項式因数定理複素数剰余の定理
2025/7/29

初項が243、公比が$-\frac{1}{3}$、末項が3である等比数列$\{a_n\}$の和を求める。

等比数列数列の和数列
2025/7/29

初項が1、公比が2、末項が128である等比数列$\{a_n\}$の和を求めます。

等比数列数列の和指数
2025/7/29

初項が $2$, 公比が $-3$, 項数が $8$ である等比数列の和を求めよ。

等比数列数列和の公式
2025/7/29

問題は、無限等比級数 $5 + 5 \cdot \frac{2}{3} + 5 \cdot (\frac{2}{3})^2 + 5 \cdot (\frac{2}{3})^3 + \dots + 5 ...

無限等比級数級数等比数列和
2025/7/29

2次方程式 $x^2 - 2x + a = 0$ （$a$ は 0 でない実数の定数）の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とする。$\alpha$, $\beta$ が虚数で、$\fra...

二次方程式複素数解と係数の関係虚数解
2025/7/29

(1) 放物線 $y = 4x^2 + ax + b$ が点 $(1, 1)$ を通り、かつ $x$ 軸に接するとき、$a$ と $b$ の組をすべて求めよ。 (2) 放物線 $y = \frac{1...

二次関数放物線判別式接する平行移動連立方程式
2025/7/29

放物線 $y = x^2 + px + q$ の頂点が直線 $y = -\frac{1}{2}x - 3$ 上にあるとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $q$ のとりうる値の範囲を求めよ。 (...

二次関数放物線平方完成頂点解と係数の関係
2025/7/29

ベクトル $\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}, \vec{a_4}, \vec{a_5}$ が与えられている。 (1) これらのベクトルを並べた行列 $A = (\vec...

線形代数ベクトル行列線形結合平面の方程式行基本変形簡約階段行列
2025/7/29