次の2つの4次方程式を解く問題です。 (1) $x^4 - 6x^2 + 1 = 0$ (2) $x^4 + x^2 + 1 = 0$

1. 問題の内容

次の2つの4次方程式を解く問題です。

(1) $x^4 - 6x^2 + 1 = 0$

(2) $x^4 + x^2 + 1 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^4 - 6x^2 + 1 = 0$ を解く。

$x^2 = t$ とおくと、$t^2 - 6t + 1 = 0$ となる。

これを $t$ について解くと、

$t = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$

したがって、$x^2 = 3 + 2\sqrt{2}$ または $x^2 = 3 - 2\sqrt{2}$

$x = \pm \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$ または $x = \pm \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$

ここで、$3 + 2\sqrt{2} = (1 + \sqrt{2})^2$、$3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)^2$ であるから、

$x = \pm (1 + \sqrt{2})$ または $x = \pm (\sqrt{2} - 1)$

よって、$x = 1 + \sqrt{2}, -1 - \sqrt{2}, \sqrt{2} - 1, 1 - \sqrt{2}$

(2) $x^4 + x^2 + 1 = 0$ を解く。

$x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = 0$ と変形すると、$(x^2 + 1)^2 - x^2 = 0$

$(x^2 + 1 + x)(x^2 + 1 - x) = 0$

$x^2 + x + 1 = 0$ または $x^2 - x + 1 = 0$

$x^2 + x + 1 = 0$ を解くと、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

$x^2 - x + 1 = 0$ を解くと、

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

よって、$x = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}, \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 1 + \sqrt{2}, -1 - \sqrt{2}, \sqrt{2} - 1, 1 - \sqrt{2}$

(2) $x = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}, \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}$