関数 $y=ax^2$ において、$x$ の変域が $-2 \le x \le \frac{1}{2}$ のとき、$y$ の変域が $0 \le y \le 12$ となる。このとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y=ax^2$ において、$x$ の変域が $-2 \le x \le \frac{1}{2}$ のとき、$y$ の変域が $0 \le y \le 12$ となる。このとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$y = ax^2$ のグラフは、$a$ の値によって、上に開いた放物線 ($a>0$) か、下に開いた放物線 ($a<0$) になります。

$x$ の変域に $x=0$ が含まれており、$y$ の変域に $0$ が含まれているので、放物線の頂点が原点にあることがわかります。

$y$ の変域が $0 \le y \le 12$ となっていることから、$a > 0$ であることがわかります。

なぜなら、$a<0$の場合、$y$の最大値は0になってしまうからです。

$x$ の変域 $-2 \le x \le \frac{1}{2}$ における $y$ の最大値が 12 であることから、$x=-2$ のとき $y=12$ であるか、$x=\frac{1}{2}$ のとき $y=12$ であるかのいずれかです。

$x=-2$ のとき $y=12$ であるとすると、$12 = a(-2)^2$ より $12 = 4a$ となり、$a=3$ が得られます。

$x=\frac{1}{2}$ のとき $y=12$ であるとすると、$12 = a(\frac{1}{2})^2$ より $12 = \frac{1}{4}a$ となり、$a=48$ が得られます。

$a=3$ の場合、$x=-2$のとき$y=12$、$x=1/2$のとき$y=3/4$なので、$0 \le y \le 12$という条件を満たします。

$a=48$ の場合、$x=-2$のとき$y=192$となるので、$0 \le y \le 12$という条件を満たしません。

したがって、$a=3$です。

3. 最終的な答え

$a=3$