三角形ABCにおいて、$a=3$, $b=5$, $c=7$であるとき、角Cの角度と内接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=3$, $b=5$, $c=7$であるとき、角Cの角度と内接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 角Cを求める。余弦定理を用いる。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

$7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cos C$

$49 = 9 + 25 - 30 \cos C$

$15 = -30 \cos C$

$\cos C = -\frac{1}{2}$

よって、$C = 120^\circ$

(2) 内接円の半径を求める。まず、三角形の面積を求める。ヘロンの公式を用いる。

$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{3+5+7}{2} = \frac{15}{2}$

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15}{2}(\frac{15}{2}-3)(\frac{15}{2}-5)(\frac{15}{2}-7)} = \sqrt{\frac{15}{2}\cdot\frac{9}{2}\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{675}{16}} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

内接円の半径をrとすると、$S = rs$ より

$\frac{15\sqrt{3}}{4} = r \cdot \frac{15}{2}$

$r = \frac{15\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{15} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$C = 120^\circ$

内接円の半径は $\frac{\sqrt{3}}{2}$