与えられた式 $4x^2 + 10x - y^2 - y + 6$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $4x^2 + 10x - y^2 - y + 6$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$4x^2+10x+6$の部分を因数分解することを考えます。

$4x^2 + 10x + 6 = 2(2x^2 + 5x + 3) = 2(2x+3)(x+1)$

したがって、式は以下のようになります。

$2(2x+3)(x+1) - y^2 - y$

次に、式全体を因数分解できる形にするために、$2(2x+3)(x+1)$の定数項に注目して、$- y^2 - y$と組み合わせることを試みます。

$4x^2 + 10x - y^2 - y + 6$を$x$の2次式として見て平方完成を試みることもできますが、複雑になることが予想されます。

ここでは、与えられた式を以下のように変形し、因数分解を試みます。

$4x^2 + 10x + 6 - y^2 - y = 4x^2 + 10x + (6 - y^2 - y)$

$6 - y^2 - y$の項が複雑なので、与えられた式を別の方法で整理してみます。

$4x^2+10x-y^2-y+6 = 4x^2+12x+9-2x-3-y^2-y$

$= (2x+3)^2 - 2x - 3 - y^2 - y$

$= (2x+3)^2 - (y^2+y+2x+3)$

ここから因数分解を進めるのは難しそうです。

別の方法として、$4x^2+10x-y^2-y+6 = (ax+by+c)(dx+ey+f)$ となるように係数を決定することを試みます。

この方法も計算が複雑になるため、良い結果が得られなさそうです。

式全体をよく観察すると、$4x^2 + 10x + 6$の部分をうまく利用することを考えます。

$4x^2+10x-y^2-y+6=4x^2+12x+9 -2x-3 -y^2-y$

$=(2x+3)^2 -2x-3 -y^2-y = (2x+3)^2 - (2x+3) -y(y+1)$

ここで、$2x+3=A$とおくと、与式は

$A^2-A-y(y+1)=A^2-A-y^2-y$

$= A^2 - y^2 -A -y = (A-y)(A+y) -(A+y) = (A+y)(A-y-1)$

$=(2x+3+y)(2x+3-y-1)=(2x+y+3)(2x-y+2)$

3. 最終的な答え

$(2x+y+3)(2x-y+2)$