2次方程式 $x^2 - 5x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 5x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = 5$$

$$\alpha \beta = 3$$

である。

$\alpha^2 + \beta^2$ を ($\alpha + \beta$) と ($\alpha \beta$) で表すために、

$(\alpha + \beta)^2$ を展開すると、

$$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$$

したがって、

$$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$$

となる。

$\alpha + \beta = 5$、$\alpha \beta = 3$ を代入すると、

$$\alpha^2 + \beta^2 = (5)^2 - 2(3) = 25 - 6 = 19$$

3. 最終的な答え

19